Several mean value formulae of Dirichlet L-functions

ZHANG Miao; HU Jiayuan

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2025013

Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition) >

2025 , Vol. 53 >Issue 6: 135 - 139

DOI: https://doi.org/10.15983/j.cnki.jsnu.2025013

Several mean value formulae of Dirichlet L-functions

ZHANG Miao ¹ ,
HU Jiayuan ^,²^,^*

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¹ School of Digital and Intellegent Industry, Inner Mongolia University of Science and Technology, Baotou 014010, Inner Mongolia, China
² School of Science, Inner Mongolia University of Science and Technology, Baotou 014010, Inner Mongolia, China

Received date: 2024-06-20

Online published: 2025-12-17

Fold

Abstract

Use the relations between the Dirichlet L-functions and the Dedekind sums to study the calculating problems of some special mean square values of Dirichlet L-functions. Several new and significative mean value formulae for them are given.

Key words： Dedekind sums; Dirichlet L-functions; the mean square value of L-function

Cite this article

ZHANG Miao , HU Jiayuan . Several mean value formulae of Dirichlet L-functions[J]. Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition), 2025 , 53(6) : 135 -139 . DOI: 10.15983/j.cnki.jsnu.2025013

设为q>1整数,χ为模q的Dirichlet 特征。对于任意复数s,著名的Dirichlet L-函数L(s,χ)定义为

L(s,χ)=

∑ n = 1 ∞ χ (n) n s

,Re(s)>1。

如果χ=χ₀为模q的主特征,则s=1是具有留数为

φ (q) q

的一个一阶极点。如果χ≠χ₀,则L(s,χ)是s的整函数。

此函数与Dedekind和密切相关。为了描述这一点,我们首先需要介绍Dedekind和S(r,q)的定义。对于任意整数q≥2和r,经典的Dedekind和S(r,q)定义^[1]如下:

S(r,q)=

∑ c = 1 q c q r c q

。

式中,((u))定义为

((u))=

u - [u] - 12, 如 果 u 不 是 一 个 整 数; 0, 如 果 u 是 一 个 整 数 。

通常,S(r,q)描述了η-函数^[2-3]在模变换下的对数行为。由于其在初等数论和解析数论中的重要性,许多学者研究了S(r,q)的各种算术性质,并获得了一系列有意义的结果,其中一些结果可以在文献[4 -18]中找到,我们不再一一列出。然而,应该注意的是,S(r,q)最重要的性质可能是它的互反定理^[1,4-5]。即,对于(r,s)=1的任何正整数r和s,都有恒等式

(1)S(r,s)+S(s,r)=

r 2 + s 2 + 1 12 r s

14

。

显然,这个公式揭示了S(r,s)和S(s,r)之间的深刻性质。此外,Rademacher和Grosswald^[3]也得到了类似于式(1)的三项公式。一些与Dedekind和有关的结果也可以在文献[7 -19]中找到,这里不再全部列出。

本文主要利用解析方法以及Dedekind和S(r,q)与Dirichlet L-函数之间的关系,研究一些Dirichlet L-函数二次均值的计算问题,并给出几个有意义的计算公式。我们有以下5个结果。

定理1 设q是一个满足(q,6)=1的正整数,则有恒等式

∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1

χ(6)·|L(1,χ)|²=

π 2 72

φ 2 (q) q 2

∏ p | q 1 + 1 p

-18-20·

q 3

∏ p | q p - p 3 p - 1

]。

式中:

* 3

表示模3的勒让德符号;

∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1

表示对模q的所有奇数特征和;L(s,χ)表示与模q的特征对应的Dirichlet L-函数; φ(q)为欧拉函数;∏_p_|_q表示对q的所有不同素因数求积。

定理2 对于任意正整数q>1且(q,3)=1,有恒等式

∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1

χ(3)·|L(1,χ)|²=

π 2 36

φ 2 (q) q 2

∏ p | q 1 + 1 p

-9-2·

q 3

∏ p | q p - p 3 p - 1

]。

定理3 对于任意奇数q>1且(q,12)=1,有恒等式

∑ χ m o d q 2 χ (- 1) = - 1

χ(12)·|L(1,χ)|²=

π 2 144

φ 2 (q 2) q 4 q 2 ∏ p | q 1 + 1 p 2 - 146

∏ p | q 1 + 1 p

。

定理4 对于任意整数q>1且(q,10)=1,有恒等式

∑ χ m o d q 2 χ (- 1) = - 1

χ(10)·|L(1,χ)|²=

π 2 120

φ 2 (q 2) q 2

[q²

∏ p | q 1 + 1 p 2

-30-72·

∏ p | q p 2 - p 5 p 2 - 1

]·

∏ p | q 1 + 1 p

。

定理5 对于任意奇数q>1且(q,5)=1,有恒等式

∑ χ m o d q 2 χ (- 1) = - 1

χ(5)·|L(1,χ)|²=

π 2 60

φ 2 (q 2) q 4

[q²

∏ p | q 1 + 1 p 2

-15-12·

∏ p | q 2 - p 5 p 2 - 1

]·

∏ p | q 1 + 1 p

。

在定理1中取q=5,7和35,我们可以推导出如下推论。

推论1 对于模5的任意奇特征χ,有

|L(1,χ)|²=

225

·π²。

推论2 有等式

∑ χ m o d 7 χ (- 1) = - 1

|L(1,χ)|²=

1549

π²

和

∑ χ m o d 35 χ (- 1) = - 1

χ(6)·|L(1,χ)|²=

96245

·π²。

注记定理3~5是3个有意义的结果。事实上,对于许多Dirichlet L-函数的二次均值,迄今为止只有各种各样的渐近公式,没有确切的恒等式。定理3~5给出了它们的3个精确计算公式。另外,定理3~5中考虑模q²,这是为了确保互反定理中的S(q²,r)容易计算。即,如果q²≡±1 mod r,其中r=5,10或12,则

S(q²,r)=±S(1,r)=±

(r - 1) (r - 2) 12 r

。

1 3个重要引理

现在给出3个简单的引理,它们在主要结果证明中是必需的。下面,将用到解析数论的一些知识以及Dirichlet L-函数和Dedekind和的性质,这些性质在文献[1,20-21]中都可以找到,不再重复。

引理1 设q>2是一个整数。对于任意整数v,(v,q)=1,有等式

S(v,q)=

1 π 2 q ∑ h | q h 2 φ (h) ∑ χ m o d h χ (- 1) = - 1

χ(v)|L(1,χ)|²。

式中,L(s,χ)表示模h的特征χ对应的Dirichlet L-函数。

证明实际上这是文献[6]中引理2给出的结果。值得注意的是,Walum^[22]首先给出了等式

∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|L(1,χ)|⁴=

p - 1 p 2

·π⁴·

∑ r = 1 p - 1

|S(r,p)|²。

显然,文献[6]推广了上述公式。

引理2 设q>1是一个整数。对于任意正整数r,其中(q,r)=1,有恒等式

S(r,q)=

r 2 + q 2 + 1 - r 2 q - 2 q 12 q r, 如 果 q ≡ 1 m o d r; r 2 + q 2 + 1 + r 2 q + 2 q - 6 q r 12 q r, 如 果 q ≡ - 1 m o d r 。

证明由互反公式(1)和Dedekind和的性质,得到了恒等式

(2)S(r,q)+S(q,r)=

r 2 + q 2 + 1 12 q r

14

。

注意到,q≡±1 mod r,有

(3)S(q,r)=S(±1,r)=±

∑ j = 1 r - 1 j r - 12 2

=±

(r - 1) (r - 2) 12 r

。

由式(2)和式(3)可得

S(r,q)=

r 2 + q 2 + 1 12 q r

14

∓

(r - 1) (r - 2) 12 r

r 2 + q 2 + 1 - r 2 q - 2 q 12 q r, 如 果 q ≡ 1 m o d r; r 2 + q 2 + 1 + r 2 q + 2 q - 6 q r 12 q r, 如 果 q ≡ - 1 m o d r 。

即证得引理2。

引理3 设q>1是一个整数。如果(q,12)=1,就得到了恒等式

S(12,q²)=

145 + q 4 144 q 2

7372

。

证明从互反公式(1)和Dedekind和的性质可得

(4)S(12,q²)+S(q²,12)=

145 + q 4 144 q 2

14

。

注意到,q≡±1,±5 mod 12。由式(4)我们得到q²≡1 mod 12和

S(12,q²)=

145 + q 4 144 q 2

14

-S(q²,12)=

145 + q 4 144 q 2

14

-S(1,12)=

145 + q 4 144 q 2

7372

。

引理3得证。

同样,对于任意整数q>1和(q,5)=1,也有恒等式。如果q²≡1 mod 10,那么有

(5)S(10,q²)=

101 + q 4 120 q 2

14

-S(q²,10)=

101 + q 4 120 q 2

14

-S(1,10)=

101 + q 4 120 q 2

1720

。

如果q²≡-1 mod 10,则有

(6)S(10,q²)=

101 + q 4 120 q 2

14

-S(q²,10)=

101 + q 4 120 q 2

14

+S(1,10)=

101 + q 4 120 q 2

720

。

由式(5)和式(6)可得

(7)S(10,q²)=

101 + q 4 120 q 2

14

q 5

35

(8)S(5,q²)=

26 + q 4 60 q 2

14

q 5

15

。

2 定理证明

本节将使用第1节中的3个引理来证明我们的主要结果。

定理1的证明 在引理2中取r=6,由(6,q)=1,S(q,6)=

q 3

518

,根据q≡

q 3

mod 6,从引理1和引理2我们得到

(9)S(6,q)=

1 π 2 ∑ h | q h 2 φ (h) ∑ χ m o d h χ (- 1) = - 1

χ(6)|L(1,χ)|²=

37 + q 2 72 q

14

q 3

518

。

由式(9)和莫比乌斯反演公式(见文献[20]中的定理2.9)得到

q 2 φ (q) ∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1

χ(6)|L(1,χ)|²=π²

∑ d | q

μ(d)·

q d

·S

6, q d

π²

∑ d | q

μ(d)·

q d

·(

37 d 72 q

q 72 d

14

q / d 3

518

π 2 72

φ(q)q

∏ p | q 1 + 1 p

π 2 4

·φ(q)-

5 π 2 18

·φ(q)·

q 3 ∏ p | q p - p 3 p - 1

或

∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1

χ(6)|L(1,χ)|²=

π 2 72

φ 2 (q) q 2

·[q

∏ p | q 1 + 1 p

-18-20

q 3

∏ p | q p - p 3 p - 1

]。

定理1证毕。

定理2的证明 在引理2中取r=3,注意到S(q,3)=

q 3

118

,有

(10)S(3,q)=

1 π 2 q ∑ h | q h 2 φ (h) ∑ χ m o d h χ (- 1) = - 1

χ(3)|L(1,χ)|²=

10 + q 2 36 q

14

q 3

118

。

由式(10)和莫比乌斯反演公式可得

∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1

χ(3)|L(1,χ)|²=

π 2 36

φ 2 (q) q 2

·[q

∏ p | q 1 + 1 p

-9-2·

q 3

∏ p | q p - p 3 p - 1

]。

定理2证毕。

定理3的证明 根据引理3的结果及q²≡1 mod 12,有

(11)S(12,q²)=

1 π 2 q 2 ∑ h | q 2 h 2 φ (h)

∑ χ m o d h χ (- 1) = - 1

χ(12)|L(1,χ)|²=

145 + q 4 144 q 2

7372

。

由式(11)和莫比乌斯反演公式可得

∑ χ m o d q 2 χ (- 1) = - 1

χ(12)|L(1,χ)|²=

π 2 144

φ 2 (q 2) q 4

q 2 ∏ p | q 1 + 1 p 2 - 146

∏ p | q 1 + 1 p

。

定理3证毕。

定理4的证明 由式(7)和莫比乌斯反演公式可得

∑ χ m o d q 2 χ (- 1) = - 1

χ(10)·|L(1,χ)|²=

π 2 120

φ 2 (q 2) q 4

·[q²

∏ p | q 1 + 1 p 2

-30-72

∏ p | q p 2 - p 5 p 2 - 1

]·

∏ p | q 1 + 1 p

。

定理4证毕。

定理5的证明 由式(8)和莫比乌斯反演公式可得

∑ χ m o d q 2 χ (- 1) = - 1

χ(5)·|L(1,χ)|²=

π 2 60

φ 2 (q 2) q 4

·[q²

∏ p | q 1 + 1 p 2

-15-22

∏ p | q p 2 - p 5 p 2 - 1

]·

∏ p | q 1 + 1 p

。

定理5证毕。

3 结语

本文利用Dedekind和与Dirichlet L-函数之间的关系,给出一些新的、有意义的Dirichlet L-函数的二次均值公式。其中结果之一是

∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1

χ(6)|L(1,χ)|²=

π 2 72

φ 2 (q) q 2

·[q

∏ p | q 1 + 1 p

-18-20·

q 3

∏ p | q p - p 3 p - 1

这里

* 3

为模3的勒让德符号。

本文所采用的证明方法将有助于相关领域的进一步研究。

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