On the hybrid mean value of the Dedekind sums and one kind special Kloosterman sums

ZHANG Jin; LIU Xiaoge

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2025026

Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition) >

2025 , Vol. 53 >Issue 6: 122 - 127

DOI: https://doi.org/10.15983/j.cnki.jsnu.2025026

On the hybrid mean value of the Dedekind sums and one kind special Kloosterman sums

ZHANG Jin ^,¹^,^* ,
LIU Xiaoge ²

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¹ School of Information Engineering, Xi’an University, Xi’an 710065, Shaanxi, China
² Research Center for Number Theory and Its Applications, Northwest University,Xi’an 710127, Shaanxi, China

Received date: 2024-11-15

Online published: 2025-12-17

Fold

Abstract

Using the elementary methods and the properties of Kloosterman sums, Dedekind sums and Gauss sums to study the calculating problem of the hybrid mean value involving the Dedekind sums and one kind special Kloosterman sums, and two exact calculating formulae and a sharp asymptotic formula for the hybrid power mean are given.

Key words： Dedekind sums; the special Kloosterman sums; hybrid mean value; identity; asymptotic formula.

Cite this article

ZHANG Jin , LIU Xiaoge . On the hybrid mean value of the Dedekind sums and one kind special Kloosterman sums[J]. Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition), 2025 , 53(6) : 122 -127 . DOI: 10.15983/j.cnki.jsnu.2025026

首先给出解析数论中Kloosterman和C(m,n,r;q)与Dedekind和S(n,q)的定义。对于任意整数q>1,将一般的Kloosterman和C(m,n,r;q)定义为

C(m,n,r;q)=

∑ c = 1 q

m c r + n c - r q

。

式中:

∑ c = 1 q

'表示对(c,q)=1,1≤c≤q的c求和;m和n是任意整数;r是给定的正整数;c·

c -

≡1 mod q;e(y)=e²^πⁱ^y,i²=-1。

取r=1,则C(m,n,1;q)为经典的Kloosterman和^[1],即

C(m,n,1;q)=S(m,n;q)=

∑ c = 1 q

m c + n c - q

。

而S(m,n;q)在解析数论的研究中起着非常重要的作用,许多数论问题都与之密切相关,如Zhang^[2]的重要工作,他在一些特殊集上给出了素数模上Kloosterman和较强的上界估计,从而在孪生素数的主要问题上取得了实质性进展。正是由于Kloosterman和的重要应用,许多学者研究了S(m,n;q)的各种性质,得到了一系列重要的结果。其中,最基本、最重要的工作是S(m,n;q)的上界估计^[3-4],亦即

∑ c = 1 q

m c + n c - q

≪(m,n,q

) 12

·d(q)·

q 12

。

式中:d(q)表示Dirichlet除数函数;(m,n,q)表示m、n和q的最大公因子。

此外,Salié^[5]证明了对于任何素数,都有恒等式

∑ n = 0 p - 1 ∑ c = 1 p - 1 e n c + c - p 4

=2p³-3p²-3p。

Zhang^[6]用初等方法证明了一个一般性的结果,即对满足(n,q)=1的任意整数n,有以下等式成立:

∑ h = 1 q ∑ c = 1 q' e h c + n c - q 4

=3^ω⁽^q⁾q²φ(q)

∏ p ‖ q 23 - 1 3 p - 4 3 p (p - 1)

。

式中:φ(q)是欧拉函数;

∏ p ‖ q

表示对满足p|q与p²

q的q所有素因子求积;ω(q)表示q的所有不同素因子的个数。

另一方面,为了描述本文的结果,还需要引入Dedekind和S(h,q)。对于任意整数q≥2和h,经典的Dedekind和S(h,q)定义如下^[7]:

S(h,q)=

∑ b = 1 q b q b h q

。

式中,((y))通常定义为

((y))=

y - [y] - 12, 如 果 y 不 是 一 个 整 数; 0, 如 果 y 是 一 个 整 数 。

已知,S(h,q)描述了η函数^[8-9]在模变换下的对数性质。由于S(h,q)在数论中的重要性,一些学者研究了S(h,q)的各种算术性质,并获得了一些有意义的结果^[10-14]。然而,应该注意的是,S(h,q)最重要的性质是它的互反定理^[10]。亦即,对于满足(u,v)=1的所有正整数u和v,都有恒等式

(1)S(u,v)+S(v,u)=

u 2 + v 2 + 1 12 u v

14

。

Rademacher和Grosswald^[9]也得到了类似于式(1)的三项公式。

本文主要研究C(m,1,2;q)和S(h,q)的混合均值的计算问题,即

(2)

∑ m = 1 q

∑ n = 1 q

'C(m,1,2;q)

C -

(n,1,2;q)·S(m

n -

,q),

并给出了式(2)的两个精确计算公式,其中

C -

(n,1,2;q)为C(n,1,2;q)的乘法逆,即

C -

(n,1,2;q)=

∑ c = 1 q

- n c 2 - c - 2 q

。关于式(2)有关的内容,刘燕妮等^[15]证明了以下结论:对于任意一个奇平方整数q,有等式

(3)

∑ m = 1 q

∑ n = 1 q

'S(m,1;q)·

S -

(n,1;q)·S(m

n -

,q)=

112

·φ²(q)·q·

∏ p | q 1 + 1 p

。

然而,将式(3)推广到式(2)似乎很困难,对于一些特殊的整数q,可以得到类似于式(3)的结果。我们使用初等方法及Kloosterman和、Dedekind和与Gauss和的性质来证明以下结论。

定理1 设p为奇素数,且p≡3 mod 4,q=p^α。那么对于任何正整数α,有恒等式

∑ m = 1 q

∑ n = 1 q

'C(m,1,2;q)·

C -

(n,1,2;q)·S(m

n -

,q)=

p (p - 1) (p - 2) 6 - p · h p 2, 如 果 α = 1; 16 · φ 2 (q) · q · 1 + 1 p, 如 果 α ≥ 2 。

式中,h_p表示虚二次域Q(

- p

)的类数。

定理2 设p是一个奇素数,且p≡1 mod 4。那么有渐近公式

∑ m = 1 p - 1 ∑ n = 1 p - 1

C(m,1,2;p)·

C -

(n,1,2;p)·S(m

n -

,p)=

16

·p³+O(

p 52 + ε

)。

式中,ε表示任意给定的正数。

定理3 设q是一个奇完全平方数,对于(k,φ(q))=1或2的任意正整数k,有恒等式

∑ m = 1 q

∑ n = 1 q

∑ a = 1 q' e m a k + a - q

∑ b = 1 q' e - n b k - b - q

S(m

n -

,q)=

112

·φ²(q)·q·

∏ p | q 1 + 1 p

。

结合定理1和定理2,可以立即推导出以下结论。

推论对于任意奇素数p,有渐近公式

∑ m = 1 p - 1 ∑ n = 1 p - 1

C(m,1,2;p)·

C -

(n,1,2;p)·S(m

n -

,p)=

16

·p³+O(

p 52 + ε

)。

注记在定理2中,只得到了当q为奇素数时,混合均值的一个较强的渐近公式。然而,是否存在一个精确的计算公式仍是一个未解决的问题。此外,定理1和定理2中的结论是否可以推广到一般整数q也是一个有意义的问题。使用本文的方法,还可以证明以下恒等式:

∑ m = 1 p - 1 ∑ n = 1 p - 1 ∑ a = 1 p - 1 e m a 2 + a - p

∑ b = 1 p - 1 e - n b 2 - b - p

S(m

n -

,p)=

p (p - 1) (p - 2) 12, 如 果 p ≡ 1 m o d 4; p (p - 1) (p - 2) 12 - p · h p 2, 如 果 p ≡ 3 m o d 4 。

1 几个引理

现在给出几个简单的引理,这些引理在主要结果的证明中是必要的。下文将使用解析数论中经典Kloosterman和与Dedekind和的性质^[7]。首先,我们有以下结论。

引理1 设p为奇素数,且p≡3 mod 4,q=p^α。那么对于模q的任意原特征χ,有恒等式

|τ(χ)+τ(χχ₂)|²+|τ(

χ ¯

)+τ(

χ ¯

χ₂|²=

4 p, 如 果 χ ≠ χ 2, α = 1; 2 p + 2, 如 果 χ = χ 2, α = 1; 4 q, 如 果 α ≥ 2 。

式中,χ₂=

* p

表示模p的Legendre符号。

证明如果p≡3 mod 4,则从经典Gauss和的定义和性质出发,注意χ₂(-1)=-1,|τ(χ)|=

q

和

τ -

(

χ -

∑ a = 1 q

χ(a)e

- a q

=χ(-1)τ(χ),

τ -

(

χ -

χ₂)=

∑ a = 1 q

χ(a)χ₂(a)e

- a q

=-χ(-1)τ(χχ₂)。

如果α=1,则有等式

(4)|τ(χ)+τ(χχ₂)|²+|τ(

χ ¯

)+τ(

χ ¯

χ₂)|²=|τ(χ)+τ(χχ₂)|²+|

τ (χ ¯) ¯

τ (χ ¯ χ 2) ¯

|²=|τ(χ)+τ(χχ₂)|²+|-τ(χ)+τ(χχ₂)|²=
2|τ(χ)|²+2|τ(χχ₂)|²=

4 p, 如 果 χ ≠ χ 2; 2 p + 2, 如 果 χ = χ 2 。

如果a≥2,那么对于模q的任意原特征χ,χχ₂也是模q的原特征,因此,从证明式(4)的方法来看,有

(5)|τ(χ)+τ(χχ₂)|²+|τ(

χ -

)+τ(

χ -

χ₂)|²=2|τ(χ)|²+2|τ(χχ₂)|²=4q。

现在结合式(4)和式(5),即可推出引理1。

引理2^[11] 设q>2为整数。那么对于(v,q)=1的任意整数v,有等式

S(v,q)=

1 π 2 q ∑ h | q h 2 φ (h) ∑ χ m o d h χ (- 1) = - 1

χ(v)|L(1,χ)|²。

式中,L(s,χ)表示对应于χ mod h的Dirichlet-L函数。

引理3 设p为奇素数。那么有估计式

∑ v = 1 p - 1

∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

χ(v)|L(1,χ)|²|≪p¹⁺^ε。

式中,ε表示任意固定的正数。

证明利用参考文献[16]中引理5的证明方法可得。

引理4 设p为奇素数,α≥2为满足q=p^α的正整数。那么对于模q的任意非原特征χ,有

τ(χ)=

∑ a = 1 q

χ(a)e

a q

=0。

证明此证明相对容易。事实上,如果χ不是模p^α的原特征,那么χ一定是模p^α^-1的一个特征。从模p^α的剩余系的性质出发,注意恒等式

$\sum_{a=1}^{q} e\left(\frac{n a}{q}\right)=\left\{\begin{array}{l} q, \text { 如果 } q \mid n \text {; } \\ 0, \text { 如果 } q \nmid n 。 \end{array}\right. $

有

∑ a = 1 q

χ(a)e

a q

∑ a = 1 p α

χ(a)e

a p α

∑ r = 1 p α - 1 ∑ s = 0 p - 1

χ(sp^α^-1+r)e

s p α - 1 + r p α

∑ r = 1 p α - 1

χ(r)e

r p α ∑ s = 0 p - 1

s p

=0。

即证得引理4。

引理5^[17] 设q>1是一个完全平方数(即p|q可推出p²|q),那么有恒等式

∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1 *

|L(1,χ)|²=

π 2 12

φ 3 (q) q 2

∏ p | q 1 + 1 p

。

式中:

∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1 *

表示对模q的所有奇原特征求和;φ(q)表示欧拉函数;

∏ p | q

表示q的所有不同素因子的乘积。

2 定理的证明

本节将使用第1节中的几个引理来证明本文主要结果。

定理1的证明 对于任何奇素数p和整数1≤v≤p-1,由引理2得到

(6)S(v,p)=

p π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

χ(v)|L(1,χ)|²。

取式(6)中的v=1,根据Dedekind和的定义,得到

p π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|L(1,χ)|²=

∑ b = 1 p - 1 b p - 12 2

∑ b = 1 p - 1 b 2 p 2 - b p + 14

(p - 1) (p - 2) 12 p

或

(7)

∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|L(1,χ)|²=

π 2 12

(p - 1) 2 (p - 2) p 2

。

如果p≡3 mod 4,注意χ₂(-1)=-1和|L(1,χ₂)|=

π p

·h_p,由式(6)得到

(8)

∑ m = 1 p - 1 ∑ n = 1 p - 1 ∑ a = 1 p - 1 e m a 2 + a - 2 p ∑ b = 1 p - 1 e - n b 2 - b - 2 p

S(m

n -

,p)=

p π 2 · (p - 1)

∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1 ∑ a = 1 p - 1 ∑ m = 1 p - 1 χ (m) e m a 2 + a - 2 p 2

·|L(1,χ)|²。

根据经典Gauss和的定义和性质,可得

(9)

∑ m = 1 p - 1

χ(m)

∑ a = 1 p - 1 e m a 2 + a - 2 p

∑ m = 1 p - 1

χ(m)

∑ a = 1 p - 1 (1 + χ 2 (a)) e m a + a - p

∑ a = 1 p - 1

a - p ∑ m = 1 p - 1

χ(m)e

m a p

∑ a = 1 p - 1

χ₂(a)e

a - p ∑ m = 1 p - 1

χ(m)e

m a p

=τ(χ)

∑ a = 1 p - 1 χ -

(a)e

a - p

+
τ(χ)

∑ a = 1 p - 1

χ₂(a)

χ -

(a)e

a - p

=τ²(χ)+τ(χ)τ(χχ₂)。

如果χ是模p的原特征,则|τ(χ)|=

p

。因此,由式(7)~(9)、引理1、引理4、|L(1,χ)|²=|L(1,

χ -

)|²以及

τ(

χ 22

∑ a = 1 p - 1 χ 22

(a)e

a p

∑ a = 1 p - 1

a p

=-1,

可得恒等式

(10)

∑ m = 1 p - 1 ∑ n = 1 p - 1 ∑ a = 1 p - 1 m a 2 + a - 2 p ∑ b = 1 p - 1 e - n b 2 - b - 2 p

S(m

n -

,p)=

p π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|τ²(χ)+τ(χ)τ(χχ₂)|²·|L(1,χ)|²=

p 2 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|τ(χ)+τ(χχ₂)|²·|L(1,χ)|²=

p 2 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|τ(

χ -

)+τ(

χ -

χ₂)|²·|L(1,

χ -

)|²=

p 2 2 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

[|τ(

χ -

)+τ(

χ -

χ₂)|²+|τ(χ)+τ(χχ₂)|²]·|L(1,χ)|²=

p 2 2 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

[|τ(χχ₂)
-τ(χ)|²+|τ(χ)+τ(χχ₂)|²]·|L(1,χ)|²=

p 2 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

(|τ(χ)|²+|τ(χχ₂)|²)·|L(1,χ)|²=

2 p 3 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1, χ ≠ χ 2

|L(1,χ)|²+

p 2 (p + 1) π 2 · (p - 1)

·|L(1,χ₂)|²=

2 p 3 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|L(1,χ)|²-

p 2 (p - 1) π 2 · (p - 1)

·|L(1,χ₂)|²=

p (p - 1) (p - 2) 6

-p·

h p 2

。

如果q=p^α且α≥2,则由引理1、引理2、引理4和引理5得到

(11)

∑ m = 1 q

∑ n = 1 q

∑ a = 1 q' e m a 2 + a - 2 q ∑ b = 1 q' e - n b 2 - b - 2 q

S(m

n -

,q)=

1 π 2 q ∑ h | q h 2 φ (h) ∑ χ m o d h χ (- 1) = - 1 ∑ a = 1 q' ∑ m = 1 q' χ (m) e m a 2 + a - 2 q 2

·|L(1,χ)|²=

q 2 π 2 · φ (q) ∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1 *

|τ(χ)+τ(χχ₂)|²·|L(1,χ)|²=

q 2 2 π 2 · φ (q) ∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1 *

(|τ(χ)+τ(χχ₂)|²+|τ(

χ -

)+τ(

χ -

χ₂)|²)·|L(1,χ)|²=

2 q 3 π 2 · φ (q) ∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1 *

|L(1,χ)|²=

16

·φ²(q)·q·

1 + 1 p

。

结合恒等式(10)和(11),即可推出结果,定理1证毕。

定理2的证明 由于p≡1 mod 4,所以对于模p的任何奇特征χ,注意χ₂(-1)=-1和|τ(χ)|=|τ(χχ₂)|=

p

,有

(12)|τ(χ)+τ(χχ₂)|²=2p-τ(χ)τ(

χ -

χ₂)-τ(χχ₂)τ(

χ -

)

和

(13)τ(χ)τ(

χ -

χ₂)=

∑ a = 1 p - 1 ∑ b = 1 p - 1

χ(a)

χ -

(b)χ₂(b)e

a + b p

∑ a = 1 p - 1

χ(a)

∑ b = 1 p - 1

χ₂(b)

b (a + 1) p

=τ(χ₂)

∑ a = 1 p - 1

χ(a)χ₂(a+1)。

由|τ(χ₂)|=τ(χ₂)=

p

,根据恒等式(7)、(12)、(13)、引理3和定理1的证明方法,得到

∑ m = 1 p - 1 ∑ n = 1 p - 1 ∑ a = 1 p - 1 e m a 2 + a - 2 p ∑ b = 1 p - 1 e - n b 2 - b - 2 p

S(m

n -

,p)=

p 2 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|τ(χ)+τ(χχ₂)|²·|L(1,χ)|²=

2 p 3 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

|L(1,χ)|²-

p 2 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

τ(χ)τ(

χ -

χ₂)|L(1,χ)|²-

p 2 π 2 · (p - 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1

τ(

χ -

)τ(χχ₂)|L(1,χ)|²=

p (p - 1) (p - 2) 6

p 32 ∑ v = 1 p - 1 χ 2 (v + 1) ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1 χ (v) | L (1, χ) | 2

p (p - 1) (p - 2) 6

p 32 ∑ v = 1 p - 1 ∑ χ m o d p χ (- 1) = - 1 χ (v) | L (1, χ) | 2

16

·p³+O(

p 52 + ε

)。

定理2证毕。

定理3的证明 首先,有等式

(14)

∑ m = 1 q

'χ(m)

∑ a = 1 q

m a k + a - q

=τ(χ)

∑ a = 1 q

χ -

(a^k)e

a - q

=τ(χ)τ(χ^k)。

由于q是一个奇完全平方数,所以如果χ是模q的原特征,那么对于(k,φ(q))=1或2,χ^k也是模q的原特征。所以,由式(14)、引理2、引理4和引理5,得到

∑ m = 1 q

∑ n = 1 q

∑ a = 1 q' e m a k + a - q ∑ b = 1 q' e - n b k - b - q

S(m

n -

,q)=

1 π 2 q ∑ h | q h 2 φ (h) ∑ χ m o d h χ (- 1) = - 1 ∑ a = 1 q' ∑ m = 1 q' χ (m) e m a k + a - q 2

·|L(1,χ)|²=

q π 2 · φ (q) ∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1 *

|τ(χ)τ(χ^k)|²·|L(1,χ)|²=

q 3 π 2 · φ (q) ∑ χ m o d q χ (- 1) = - 1 *

|L(1,χ)|²=

112

·φ²(q)·q·

∏ p | q 1 + 1 p

。

定理3证毕。

3 结语

本文主要研究了Kloosterman和C(m,n,r;p)与经典的Dedekind和S(h,p)的混合均值,即得到

∑ m = 1 p - 1 ∑ n = 1 p - 1 ∑ a = 1 p - 1 e m a 2 + a - 2 p

∑ b = 1 p - 1 e - n b 2 - b - 2 p

S(m

n -

,p)=

p (p - 1) (p - 2) 12 - p · h p 2, 如 果 p ≡ 3 m o d 4; 16 · p 3 + O (p 52 + ε), 如 果 p ≡ 1 m o d 4 。

此外,我们在注记中还提出了两个公开问题,相信这些问题将有助于相关领域的进一步研究。

References

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1 几个引理

2 定理的证明

3 结语

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