On character sums with multiplicative coefficients over flat numbers

SHI Hui; XU Zhefeng

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2025024

Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition) >

2025 , Vol. 53 >Issue 6: 111 - 116

DOI: https://doi.org/10.15983/j.cnki.jsnu.2025024

On character sums with multiplicative coefficients over flat numbers

SHI Hui ,
XU Zhefeng ^,^*

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School of Mathematics, Northwest University, Xi’an 710127, Shaanxi, China

Received date: 2024-09-18

Online published: 2025-12-17

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Abstract

Let q≥3 be a sufficiently large prime,x be a real number such that $q$ (ln q)≪x≤q,χ be any non-principal character mod q,f(n) be a multiplicative function satisfying |f(n)|≤1.It is obtained that several new bounds for sums of the form w_q(χ,f,x)= $∑ n ∈ F x (H; k)$ f(n)χ(n) where F_x(H;k)={n∈Z|(n,q)=1,1≤n≤x,|(n^k)_q-( $n - k$ )_q|≤H}, $n -$ is defined by n $n -$ ≡1(mod q),e_q(v)=e²^πⁱ^v/q and (a)_q means that the minimal positive residue of that a mod q.

Key words： character sums; Kloosterman sums; multiplicative function; flat number

Cite this article

SHI Hui , XU Zhefeng . On character sums with multiplicative coefficients over flat numbers[J]. Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition), 2025 , 53(6) : 111 -116 . DOI: 10.15983/j.cnki.jsnu.2025024

设q≥2是整数,χ是模q的非主特征。对于特征和

∑ x = N + 1 N + H

χ(f(x))

的精确上界估计是解析数论中的一个十分重要的问题,其中f(x)∈Z[x],N和H都是正整数。关于经典的估计结果是由Pólya和Vinogradov^[1-2]给出的:

(1)

∑ n = N + 1 N + H

χ(n)≪q¹^/²ln q。

之后,Burgess^[3-4]证明了当q是无立方因子数时,对于任意的正整数r,不等式

∑ n = N + 1 N + H

χ(n)≪H^1-1^/r

q (r + 1) / 4 r 2 + o (1)

成立;特别地,当r=1,2,3时,上述不等式对任意的正整数q都成立。在广义黎曼假设的条件下,Montgomery和Vaughan^[5]将结果(1)进行了进一步改进:

∑ n = N + 1 N + H

χ(n)≪q¹^/²ln ln q。

除此之外,Granville和Soundararajan^[6]也对结果(1)进行了改进并得到

∑ n = N + 1 N + H

χ(n)≪q¹^/²(ln q

) 1 - δ g / 2 + ε

。

式中:χ是模q的奇数阶g的本原特征;δ_g=1-

g π

sin

π g

;ε为任意小的正数。

关于特征和的上界估计这一类问题实际上存在着多元化的研究方向。一方面,在特殊的数集或序列上对特征和进行估计的这类问题引起许多关注,例如:Beatty序列、Lehmer数集、光滑数集合和其他组合数集等^[7]。

本文基于一般的平坦数集合的定义去研究一种k次平坦数集。令q≥2为固定的整数,k是任意给定的正整数,H≤q为整数,x≤q。定义

F_x(H;k)={n∈Z|(n,q)=1,1≤n≤x,|(n^k)_q-(

n - k

)_q|≤H}。

式中:

n -

满足同余式n

n -

≡1 (mod q);(a)_q表示a模q的最小正剩余。每个集合F_x(H;k)中的元素都被称为模q的k次H-平坦数。当k=1并且x=q时,集合F(H)=F_q(H;1)就是一般的H-平坦数集或者平坦数集。

Zhang^[8]研究了|n-

n -

|的分布性质并且证明了

∑ n = 1 n ∈ F q (q; 1) q

1=δ(2-δ)φ(q)+O(q¹^/²τ²(q)ln³q)。

式中:δ∈(0,1]为常数;φ(q)是欧拉函数;τ(q)是除数函数。

对于在平坦数集上特征和的上界估计这一问题,有许多学者进行了研究。Xi等^[9]证明了

(2)

∑ n ∈ F (H)

χ(n)≪

q 12

τ²(q)ln H。

进一步,他还利用Salié对Kloosterman和的计算方法结合Burgess对特征和的上界估计给出了一个与式(2)不同的上界,即对于模q的Jacobi符号χ,

∑ n ∈ F (H)

χ(n)≪H^1-1^/r

q (r + 1) / 4 r 2

τ(q)ln q。

式中:q≥3是奇的无平方因子整数;r≥1是任意的整数。对于上述问题,Ma和Zhang^[10]考虑在短区间上对这类特征和进行研究并且得到了

∑ n ∈ F (H) n ≤ N

χ(n)≪

q 12 + ε

。

式中,q是素数并且满足

q

<N<q。

另一方面,一些学者尝试对特征进行加权之后再求和并给出其上界,这一思路也引起了许多学者的关注。

令f是复值可乘函数并且满足|f|≤1。Gong等^[11]利用Vinogradov不等式的有限形式证明了对于素数q与大的常数A,当q¹^/²⁺^ε≪N≪q^A时,

∑ n ≤ N

f(n)χ(n+a)≪N

l n l n q l n q

。

式中:ε>0为任意小的常数;a是整数并满足(a,q)=1。

本文应用文献[11]中的方法给出k次平坦数集上带有可乘系数的特征和的上界,即给出下列和式

w_q(χ,f,x)=

∑ n ∈ F x (H; k)

f(n)χ(n)

的上界估计,证明下面几个结果。

定理1 令ε为任意的常数并满足0<ε<0.5,δ>0为任意小的数,q≥q₁(ε)为足够大的素数,H≤(ln q)^1-^δ,k为任意给定的正整数,x为实数并且满足q¹^/²⁺^ε≪x≤q。则有

w_q(χ,f,x)≪_kxln H

l n l n q l n q

。

如果将x的范围扩大为

q

(ln q)¹⁺²^γ≤x≤q,则可以得到一个与定理1相比较弱的上界。

定理2 令γ为任意的常数,δ>0为任意小的数,q≥q₂(γ)为足够大的素数,H≤(ln q)^1-^δ,k为任意给定的正整数,x为实数并满足

q

(ln q)¹⁺²^γ≤x≤q。则有

w_q(χ,f,x)≪_kxln H

l n l n l n q γ l n l n q

。

定理3 令q≥3为素数,k为任意给定的正整数,H≤q。则有

∑ n ∈ F q (H; k)

χ(n)≪q¹^/²ln H。

定理3可以视为定理1在f=1并且x=q时的结果。在这种特殊情况下,可以扩大H的范围。

1 几个基本引理

引理1 令2≤y≤x,Φ(x,y)表示素因子都大于y的数n≤x的个数,则

Φ(x,y)≤

x l n y

13.5 x (l n y) 2

。

证明见文献[12]。

引理2 令15≤y≤x,Ψ(x,y)表示素因子都不超过y的数n≤x的个数,则

Ψ(x,y)≤Cx

e - u 2

,u=

l n x l n y

,C=67.21。

证明见文献[13]。

引理3 令p为奇素数,F(x)=

f (x) g (x)

是有限域F_p上的有理函数并且不为常数,那么有

$ \begin{array}{l} \left|\sum_{\substack{1 \leq n \leq p \\ p \nmid g(n)}} e_{p}(F(n))\right| \leqslant \\ \quad(\max \{\operatorname{deg}(f), \operatorname{deg}(g)\}+\sigma-1) \sqrt{p} 。 \end{array}$

式中,σ表示有理函数g(x)在

F - p

中不同根的个数(

F - p

表示F_p的代数闭包)。

证明见文献[14]。

引理4 以下渐近公式在X→+∞时成立:

∏ p ≤ X 1 - 1 p - 1

=e^E(ln X)(1+O(

e - c l n X

)),c>0。

式中,E=0.577 215 6…是欧拉常数。

证明这个引理是素数分布性质的相关结果(见文献[15]第三章第五节)。

引理5 令q为足够大的奇素数满足

x≤q,

x q (l n q) (l n l n q) 2

→+∞,(a,q)=1,

然后令f(n)是任意的可乘函数满足条件|f(n)|≤1,k是任意给定的正整数,则和式

S_q(χ,f,x,k)=

∑ n ≤ x

'f(n)χ(n)e_q(a

n - k

+bn^k)

满足不等式|S_q(χ,f,x,k)|≪x(Δ₁+Δ₂+Δ₃),其中

Δ₁=(C+3)

l n X l n Y

, Δ₂=

7 l n l n q X l n X

Δ₃=

72 2 Y x k q (l n l n q) 2 1 / 2

C是引理2中的常数,X和Y是任意的参数满足条件

(3)15<X₀<X<0.5Y,Y≤

x q (l n q) (l n l n q) 2

。

证明令X和Y满足条件(3)。用I来表示区间(X,Y]。进一步,令

A_t={n|1≤n≤x,(n,q)=1,

n恰好有t个I中的素数},

其中t=0,1,2,…。

因此,任意n∈A₀都能被表示成n=uv的形式,这种形式存在如下两种情况:

a)u的所有素因子都不超过X(或者u=1)并且所有v的素因子都大于Y;

b)u的所有素因子都不超过X(或者u=1)并且v=1。

如果用N_a和N_b分别代表元素n∈A₀并且分别满足条件a)和b),则有

|A₀|≤N_a+N_b。

固定因子u,最多有Φ(xu^-1,Y)种可能去选择因子v=nu^-1≤xu^-1。如果v≠1,那么v>Y和xu^-1>Y。通过对这些u进行求和然后结合引理1和4可以得到

N_a=

∑ u

x u, Y

≤

2 x l n Y ∑ u 1 u

≤

2 x l n Y ∏ p ≤ x 1 + 1 p + 1 p 2 + …

2 x l n Y ∏ p ≤ X 1 - 1 p - 1

<3x

l n X l n Y

。

然后,利用引理2可以得到

N_b=Ψ(x,X)≤Cx

e - 12 l n x l n X

,C=67.21。

结合式(3)可以推出不等式(ln x)/(2ln Y)≥1。因此,

N_b≤Cx

e - 12 l n x l n Y l n Y l n X

≤Cx

e - l n Y l n X

<Cx

l n X l n Y

。

接着令

S_t=

∑ n ∈ A t

f(n)χ(n)e_q(a

n - k

+bn^k),

可以发现

|S₀|≤|A₀|≤N_a+N_b<(C+3)x

l n X l n Y

。

令t≥1。考虑所有的乘积pm(pm≤x,(p,m)=1,X≤p≤Y,m∈A_t_-1),若n∈A_t不能被p²(p是I中的某个n素因子)整除,那么任意一个n∈A_t都有t种情况可以将其表示成乘积的形式并且满足条件(p,m)=1和(pm,q)=1,则可以得到

S_t=

1 t ∑ X < p ≤ Y

∑ m ∈ A t - 1 p m ≤ x (p, m) = 1

f(p)f(m)χ(p)χ(m)·e_q(a(

p m ¯

)^k+b(pm)^k)+θη_t。

式中:|θ|≤1;η_t表示能被p²整除的n∈A_t的个数。如果去掉内部和式中的条件(p,m)=1,则相对应的误差的绝对值不会超过

1 t ∑ X < p ≤ Y ∑ m ≤ x p p | m

1≤

1 t ∑ p > X x p 2

x X - 1 t

。

综上,可以得到等式

S_t=

1 t ∑' X < p ≤ Y

f(p)χ(p)·

∑ m ∈ A t - 1

f(m)χ(m)e_q(a(

p m ¯

)^k+b(pm)^k)+θ₁

η t + x X - 1 t

,|θ_q|≤1。

下一步将区间I分解成形式为Q<p≤Q₁的O(ln Y)个子区间,其中X≤Q≤Q₁≤Y,Q₁≤2Q,则有

S_t(Q)=

∑ m ∈ A t - 1

f(m)χ(m)·

∑' Q < p ≤ Q 1 p m ≤ x

f(p)χ(p)e_q(a(

p m ¯

)^k+b(pm)^k)。

因为每个m都满足m≤xQ^-1,则可以推出

|S_t(Q)|≤

∑' m ≤ x Q - 1 ∑' Q < p ≤ Q 1 p ≤ x m f (p) χ (p) e q (a p - k m - k + b p k m k)

。

通过柯西不等式可以得到 |S_q(Q)|²≤xQ^-1

∑' m ≤ x Q - 1 ∑' Q < p 1, p 2 ≤ Q 1 p 1, p 2 ≤ x m

f(p₁)

f (p 2) ¯

χ(p₁)

χ ¯

(p₂)e_q(a(

p - 1 k

p - 2 k

)

m - k

+b(

p 1 k

p 2 k

)m^k)=

xQ^-1(

∑' m ≤ x Q - 1 ∑' Q < p ≤ Q 1 p ≤ x m

|f(p)|²+2Re

∑' Q < p 1 < p 2 < Q 1

f(p₁)

f -

(p₂)χ(p₁)

χ ¯

(p₂)

∑' 1 ≤ m ≤ M

e_q(a₁

m - k

+b₁m^k))≤

xQ^-1(xQ^-1π(Q₁)+2

∑' Q < p 1 < p 2 < Q 1 ∑' 1 ≤ m ≤ M e q (a 1 m - k + b 1 m k)

)。

式中:M=x

p 2 - 1

;a₁=a(

p - 1 k

p - 2 k

);b₁=b(

p 1 k

p 2 k

)。由于(p₁p₂,q)=1,则

p 1 k p 2 k

(

p - 1 k

p - 2 k

)≡

p 2 k

p 1 k

(mod q),

又因为q是足够大的素数,所以

(a₁,b₁,q)=(

p 2 k

p 2 k

,q)=1。

由引理3可以得到

∑' 1 ≤ m ≤ M e q (a 1 m - k + b 1 m k)

≤k

q 12

,|S_t(Q)|²≪

2 x 2 Q l n Q

2 x Q

q ∑' Q < p 1 < p 2 < Q 1 (p 2 k - p 2 k, q) = 1

则

|S_t(Q)|²≪

2 x 2 Q l n Q

2 x Q

q Q 2 (l n Q) 2

2 x 2 Q l n Q

+2kxQ

q

然后得到

|S_t(Q)|≪

1.5 x Q l n Q

+(2kxQ

q) 12

1.5 Q l n Q + 2 k Q q x 12

。

将2^kX分别在k=0,1,2,…,k₀时对Q进行赋值,其中k₀由不等式

2 k 0

X≤Y<

2 k 0 + 1

X决定,可以得到

∑ k = 0 k 0

|S_t(Q)|≪x

1.5 ∑ k = 0 k 0 2 - k / 2 X l n X + 2 k q x 12 ∑ k = 0 k 0 (2 k X) 12

≪

72

1.5 X l n X + 2 Y k q x 12

以及

|S_t|≪

7 x 2 t 1.5 X l n X + 2 Y k q x 12

+η_t+

x X - 1 t

。

对t结合1≤t≤(ln x)/ln X进行求和,有

∑ t ≥ 1

η_t=

∑ p ∈ I ∑ t ≥ 1 ∑ n ∈ A t n ≡ 0 (m o d p 2)

1≤

∑ p ∈ I ∑ n ≤ x n ≡ 0 (m o d p 2)

≤

∑ p > X x p 2

<xX^-1,

则

∑ t ≥ 1

|S_t|≪

72

1.5 X l n X + 2 Y k q x 12

ln ln x+

2 x X

ln ln x≪

72

1.5 X l n X

2 Y k q x 12

4 7 X

)ln ln q≪

72

2 X l n X

2 Y k q x 12

)ln ln q。

最终得到

|S_q(χ,f,x,k)|≪(C+3)x

l n X l n Y

72

2 X l n X + 2 Y k q x 12

ln ln q≪X((C+3)

l n X l n Y

7 l n l n q X l n X

72 2 Y x k q (l n l n q) 2 12

)。

引理5得证。

2 定理的证明

首先证明定理1。

w_q(χ,f,x)=

∑ - H ≤ l ≤ H ∑' n ≤ x n k - n - k ≡ l (m o d q)

f(n)χ(n)。

令‖x‖=min_n_∈Z|x-n|。应用等式

$ \sum_{n=1}^{q} e\left(\frac{a n}{q}\right)=\left\{\begin{array}{l} q, q \mid a \\ 0, q \nmid q \end{array}\right.$

可以得到

w_q(χ,f,x)=

1 q ∑ m ≤ q

∑ - H ≤ l ≤ H

e_q(-ml)·

∑' n ≤ x

f(n)χ(n)e_q(mn^k-m

n ¯ k

)≪

1 q ∑ m ≤ q - 1

min

H, ‖ m q ‖ - 1

|S_q(χ,f,x,k)|≪

1 q ∑ m ≤ q - 1

min

H, q m

|S_q(χ,f,x,k)|≪

q - 1 H ∑ m ≤ q / H + ∑ q / H < m ≤ q - 1 1 m

|S_q(χ,f,x,k)|≪(1+ln H)|S_q(χ,f,x,k)|。

由于x≥q¹^/²⁺^ε,取X=(ln q)²,Y=q^ε/⁴。利用引理5可以得到

Δ₁≪8ε^-1(C+3)

l n l n q l n q

Δ₂≪

72 l n l n q l n q

Δ₃≪

72 2 k q 12 + ε 4 q 12 + ε 12

ln ln q<

k 12 q - 38 ε

。

则可以得到

|S_q(χ,f,k)|≪x

k 12 l n l n q l n q

与

w_q(χ,f,x)≪x

k 12

ln H

l n l n q l n q

。

定理1得证。

接下来证明定理2。当x≥

q

(ln q)¹⁺²^γ时,取X=(ln ln q)⁴和Y=(ln q)^γ。再次应用引理5可以得到

|S_q(χ,f,k)|≪x

k 12 l n l n l n q γ l n l n q

与

w_q(χ,f,x)≪x

k 12

ln H

l n l n l n q γ l n l n q

。

定理2得证。

最后,证明定理3。利用与证明定理1时相同方法可以得到

∑ n ∈ F q (H; k)

χ(n)=

∑ - H ≤ l ≤ H ∑' n ≤ q n k - n - k ≡ l (m o d q)

χ(n)=

1 q ∑ m ≤ q

∑ - H ≤ l ≤ H

e_q(-ml)

∑' n ≤ q

χ(n)e_q(mn^k-m

n - k

)。

结合引理3与Weil^[16]上界的结果可以推出

∑' n ≤ q χ (n) e q (m n k - m n - k)

≤q¹^/²,

那么就有

∑ n ∈ F q (H; k)

χ(n)≪q¹^/²ln H。

定理3得证。

References

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