在经典物理世界中, 3个随机比特可以两两同时“极大关联”在一起。比如3枚硬币,可以制备为3个同时以50%的概率字面向上、同时以50%的概率字面向下的状态。在这个状态中,其中任意两个硬币都是“极大关联”的。但这一现象在量子世界是不可能发生的,比如3个量子比特A、B、C,A不可能和B、C同时产生极大纠缠[1]。事实上, 如果量子比特A与B极大纠缠,那么A与C之间不再有纠缠关联。这一纠缠分配现象首次被Coffman、Kundu和Wootters(CKW)三人在文献[1]中证明(对于3量子比特情形)。之后,人们对于纠缠的分配进行了大量研究[2⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-40]。更确切地说,纠缠的单配性指在复合量子系统中如果其中几个子系统之间的纠缠越强,那么他们与其余子系统的纠缠就越弱。这一性质在量子密钥分发、保密通信[41⇓-43]、纠缠的分类[44⇓-46]等量子信息处理以及凝聚态物理[47⇓-49]、统计物理[50]乃至黑洞物理学[51-52]等物理分支中都有广泛应用。比如在量子密钥分发过程中, 单配性能够让收发双方相对精确地知道窃听者最多能够窃取多少密钥信息,从而保障信息安全。
E(A|BC)≥E(A|B)+E(A|C)。
式中:E是某个两体纠缠度;A、B、C表示某个三体系统的3个子系统。该不等式表示,A与B之间的纠缠,A与C之间的纠缠,二者的总量不能超过A与B之间的纠缠量(把BC看作一个整体)。若E满足式(1),则称E满足单配性。此后, 人们基于这个不等式对各种纠缠度以及不同系统进行了大量研究。然而, 很多研究结果表明, 这一定义并不能完全体现纠缠的分配规律。比如,后继研究发现多数纠缠度本身并不满足式(1),而是存在某个α>0,使得Eα满足式(1)[1,5-13]。亦即式(1)右边的和式并不是单配性的本质。这一问题引发我们进而思考纠缠单配性该如何精确刻画,前面的定义如何去改进。与纠缠度量单配性对偶的概念是辅助纠缠的多配性[4,53-61]。与起初单配性的定义类似, 对于某个量子关联度量Q,若Q满足以下不等式,则称Q具有多配性[4,53-60]:
Q(A|BC)≤Q(A|B)+Q(A|C)。
同样,人们基于多配性不等式(2)对辅助纠缠的多配性进行的研究只得到了非常有限的结论[4,53-60]。与研究单配性存在的问题类似,这个多配性不等式定义并不能充分体现多配性的本质特征。我们进而讨论如何改进多配性的定义。
本文将系统地回答这些问题。第1节回顾两体纠缠度的定义以及目前常见的几种纠缠度, 同时介绍目前基于定义(1)得到的纠缠单配性的研究结果。第2节介绍我们在2018年给出的两体纠缠度单配性的新定义及相关性质[62]。第3节介绍2019年我们利用新定义得到的凸扩张纠缠度单配性证明[63],第4节讨论与单配性密切相关的两体纠缠度LOCC严格均值不增性[64]。第5节介绍2018年我们给出的两体关联度量多配性的新定义及基于新定义得出的辅助纠缠的多配性[61]。
本文采用Dirac符号系统。下文中Hilbert空间均指有限维复Hilbert空间,向量用ket符号|·>表示(无特别说明时均指单位向量, 即表示对应系统的纯态),用bra-ket符号<·|·>表示给定Hilbert空间H中的内积。这里,内积<·|·>对第一个变量是共轭线性的,而对第二个变量是线性的,即(<αψ1|+<βψ2|)ϕ>= <ψ1|ϕ>+ <ψ2|ϕ>,<ψ|(α|ϕ1>+β|ϕ2>)=α<ψ|ϕ1>+β<ψ|ϕ2>,α,β∈C,|ψ>,|ϕ>,|ψi>,|ϕi>∈H,i=1,2。这里, 表示α的复共轭。对于H上的算子A,‖A‖Tr表示A的迹范数,A†表示A的伴随算子,AT表示在某组标准正交基下A的转置,rank(A)表示A的秩,Tr(A)表示对A取迹。复合系统(如两体系统A+B). $\mathscr{H}^{A B} \overset{d}{=} \mathscr{H}^{A} \otimes \mathscr{H}^{B}$上的所有量子态(或称密度算子)组成的集合用. $\mathscr{S}\left(\mathscr{H}^{A B}\right) \overset{d}{=} \mathscr{S}^{A B} $表示(多体系统类似表示),其中上标A、B表示对应的系统(有时也用下标表示)。
1 预备知识
1.1 两体纠缠度
本文主要讨论基于两体纠缠度的纠缠单配性,为此我们先介绍两体纠缠度。若函数E:SAB→R+满足以下条件,则称E为两体纠缠度[65]:
(E1)对所有可分态σAB∈SAB,E(σAB)=0;
(E2)E在LOCC(local operations and classical communications)作用下不增。即对任何LOCC映射Φ,
E(Φ(ρAB))≤E(ρAB),∀ρAB∈SAB。
显然(E2)蕴涵纠缠度是局域酉不变的,即对于任何局域酉算子UA,B,都有
E(ρAB)=E(UAⓧUBρAB ),∀ρAB∈SAB。
Φ(·)= AiⓧBi(·)
的形式,其中∑i Aiⓧ Bi=IAB,IAB表示系统HAB上的恒等算子(需要注意的是,Φ的输出系统状态空间HA'B'的维数可能与HAB不相等)。通常LOCC是随机的。比如,设Φ(·)=∑jAjⓧBj(·) ,则ρAB在Φ作用下变为{pj, },其中pj =AjⓧBj(ρAB) 。此时,由ρAB变换为 一般来说并不一定能通过某个LOCC实现。1998年Vedral和Plenio在重新考虑纠缠度时认为纠缠度应该满足[67]
pjE()≤E(ρAB)。
2000年,Vidal把满足这种均值不增性(即满足式(4))而且同时是凸函数的纠缠度称为纠缠单调(entanglement monotone)[68]。
设E为某个两体纠缠度,令
$E_{F}\left(\boldsymbol{\rho}^{A B}\right) \overset{d}{=} \min \sum_{j=1}^{n} p_{j} E\left(\left|\psi_{j}\right\rangle\left\langle\left.\psi_{j}\right|^{A B}\right),\right.$
其中极小值取遍ρAB的所有纯态系综分解ρAB= pj|ψj><ψj|AB。EF称为E导出的凸扩张纠缠度。对于这种凸扩张纠缠度。Vidal在文献[68]中证明了如下结论:设|ψ>AB∈HAB,ρA=TrB|ψ><ψ|AB,定义h:SA→R+为
$h\left(\boldsymbol{p}^{A}\right) \overset{d}{=} E\left(|\psi\rangle\left\langle\left.\psi\right|^{A B}\right) 。\right.$
显然,对于作用在空间HA上的任意酉算子U,
h(UρAU†)=h(ρA)。
若h是凹的,即
$\begin{array}{l} h\left[\lambda \boldsymbol{\rho}_{1}+(1-\lambda) \boldsymbol{\rho}_{2}\right] \geqslant \lambda h\left(\boldsymbol{\rho}_{1}\right)+(1-\lambda) h\left(\boldsymbol{\rho}_{2}\right), \\ \quad \forall \boldsymbol{\rho}_{1}, \boldsymbol{\rho}_{2} \in \mathscr{A}^{A}, 0 \leqslant \lambda \leqslant 1, \end{array} $
则EF是纠缠单调。我们称满足式(6)的h为E的约化函数。
以下列举几种常见的两体纠缠度, 也是本文讨论涉及的纠缠度。最经典的纠缠度是形成纠缠度(entanglement of formation)[69-70],用Ef表示:
$\begin{array}{c} E_{f}(|\psi\rangle)=E\left(|\psi\rangle \overset{d}{=} S\left(\boldsymbol{p}^{A}\right),|\psi\rangle \in \mathscr{H}^{A B},\right. \\ \boldsymbol{\rho}^{A}=\operatorname{Tr}_{B}|\psi\rangle\langle\psi|, \end{array}$
其中$S(\boldsymbol{\rho}) \overset{d}{=}-\operatorname{Tr}(\boldsymbol{\rho} \ln \boldsymbol{\rho})$表示von Neumann熵。对于混合态则用其导出的凸扩张纠缠度表示(注意,对于这一凸扩张纠缠度我们仍用Ef来表示,而其他纠缠度导出的凸扩张纠缠度则用EF来表示)。Wootters等在1997年发现2量子比特纯态|ψ>的形成纠缠度可表示为
Ef(|ψ>)=ε(C(|ψ>)),
其中
ε(C)=H2 ,
H2(x)=-xlog2x-(1-x)log2(1-x),
C(|ψ>)=2|a11a22-a12a21|,
|ψ>= aij|i>|j>。
容易验证,Ef是C的单调递增函数,因此C可以看作纠缠度,称为并发纠缠(concurrence)[71-72]。2001年,Rungta借助于一般反转算子(universal inverter)把concurrence概念推广到任意有限维数的两体系统HAB,并给出了一个具体的计算公式[73]
C(|ψ>)= ,∀|ψ>∈HAB。
与并发纠缠密切相关的纠缠度是tangle,定义[74]为
τ(|ψ>)=C2(|ψ>)。
对于混合态,则用凸扩张方法定义。设τ(ρ)= piC2(|ψi>),ρ∈SAB,则由Cauchy-Schwarz不等式可知
piC2(|ψi>)= ( )2· [ C(|ψi>)]2≥ = ≥C2(ρ),
即C2≤τ,但对于2量子比特态,C2=τ[75]。负性纠缠度(negativity)[76-77]是对纯态和混合态统一定义的:
N(ρ)= (‖ ‖Tr-1), ρ∈S AB,
其中TA表示关于子系统A的部分转置。对于N,同样可以由式(5)定义NF(即在式(5)中取E=N)。这几种纠缠度不仅是纠缠度,也是纠缠单调。Vidal和Werner在文献[77]中定义了对数负性纠缠度EN,
$\begin{array}{c} E_{N}(\boldsymbol{\rho})=\log _{2}\left\|\boldsymbol{\rho}^{\mathrm{T}_{A}}\right\|_{\mathrm{Tr}}=\log _{2}[2 N(\boldsymbol{\rho})+1], \\ \boldsymbol{\rho} \in \mathscr{S} ^{A B}. \end{array}$
(ρ)=log2[2NF(ρ)+1],ρ∈SAB。
不难验证, 在LOCC作用下也是均值不增的, 同样也不是凸函数[79],故也不是纠缠单调。
Gour在文献[80]中给出了dⓧd系统中由并发纠缠导出的纠缠单调。设|ψ>∈HAB的Schmidt分解为|ψ>= λj|ej>A|ej>B,则由Schmidt系数λ=(λ0,λ1,…,λd-1)可定义d个对称多项式:
S1(λ)= ,S2(λ)= ,
S3(λ)= ,…,Sd(λ)= 。
从而定义[80]
Ck(|ψ>)= ,k≥2,
对于混合态则用凸扩张方法定义。记
hk(ρ)=[Sk(λ(ρ))/Sk(1/d,1/d,…,1/d)]1/k,
其中λ(ρ)表示ρ的特征值组成的向量。由于hk是酉不变的,且为凹函数,故Ck(|ψ>)对任意1≤k≤d,Ck都是纠缠单调[80]。
2021年,文献[81]定义了q-concurrence:
$C_{q}\left(|\psi\rangle^{A B}\right) \overset{d}{=} 1-\operatorname{Tr} \boldsymbol{\rho}_{A}^{q}, q \geqslant 2,$
对于混合态则用凸扩张方法定义。由于其约化函数为凹函数,故为纠缠单调[81]。
除形成纠缠度Ef外,根据Tsallis q-熵[82-84]和Rényi α-熵[44,85-86]也可以定义纠缠度。其中Tsallis q-熵定义为
$S_{q}(\rho ) \overset{d}{=}(1-q)^{-1}\left[\operatorname{Tr}\left(\rho^{q}\right)-1\right], q>0,$
Rényi α-熵定义为
$S_{\alpha}(\rho) \overset{d}{=}(1-\alpha)^{-1} \ln \left(\operatorname{Tr} \boldsymbol{\rho}^{\alpha}\right), \alpha \in[0,1) 。$
2020年,我们通过保真度定义了一类纠缠度[88]。对于纯态|ψ>∈HAB,记
$E_{\mathscr{F}}(|\psi\rangle) \overset{d}{=} 1-\mathscr{F}\left(|\psi\rangle\langle\psi|, \boldsymbol{\rho}^{A} \otimes \boldsymbol{\rho}^{B}\right),$
$E_{\mathscr{F}}(|\psi\rangle) \overset{d}{=} 1-\sqrt{\mathscr{F}}\left(|\psi\rangle\langle\psi|, \boldsymbol{\rho}^{A} \otimes \boldsymbol{\rho}^{B}\right),$
$E_{A \mathscr{F}}(|\psi\rangle) \overset{d}{=} 1-\sqrt{\mathscr{F}_\mathscr{A}}\left(|\psi\rangle\langle\psi|, \boldsymbol{\rho}^{A} \otimes \boldsymbol{\rho}^{B}\right) 。$
EF(|ψ>)=1-Tr(|ψ><ψ|ρAⓧρB)=1-Tr(ρA)3=1- ,
EA,F(|ψ>)=1-[Tr(|ψ><ψ| )]2=1-[Tr(ρA)2]2=1- 。
EB(ρAB)$\overset{d}{=}$ {2-2 (ρAB,σAB)},
∀ρAB∈SAB,
其中极小值取遍所有的可分态σAB。EF跟文献[96]中提出几何纠缠度EG也不同,EG定义为
EG(ρAB)$\overset{d}{=}$ {1-F(ρAB,σAB)},
∀σAB∈HAB,
对于|ψ>∈HAB,设|ψ>= λj|ej>A|ej>B为其Schmidt分解,λ1≥λ2≥…≥λr,r为|ψ>的Schmidt数。早在1999年,Vidal在文献[98]中定义了如下纠缠单调:
Ek(|ψ>)= , k≥2。
特别地,
E2(|ψ>)= =1- =1-‖ρA‖,
Emin(|ψ>)=
同样,对于混合态则用凸扩张方法定义。容易验证其约化函数为凹函数,故为纠缠单调,我们称之为极小部分范数(minimal partial norm of entanglement)[99]。
除负性纠缠度外,扁压纠缠度(squashed entanglement)、可提纯纠缠度(distillable entanglement)、代价纠缠度(entanglement cost)、相对熵纠缠度(relative entropy of entanglement)和条件熵互信息纠缠度(conditional entanglement of mutual information)也是非凸扩张纠缠度。其中,可提纯纠缠度定义[100]为
Ed(ρ) $\overset{d}{=}$sup{r: [‖Λ(ρⓧn)- ‖1]=0}, ρ∈SAB,
Ec(ρ) $\overset{d}{=}$inf{r: [‖ρⓧn-Λ()‖1]=0}, ρ∈SAB。
扁压纠缠度定义[103]为
Esq(ρAB) $\overset{d}{=}$ inf ,
下确界取遍所有满足ρAB=TrEρABE的ρABE,
I(A:B|E)=S(ρAE)+S(ρBE)-S(ρABE)-S(ρE)
为条件互信息(conditional quantum mutual information)。相对熵纠缠度定义[67]为
Er(ρAB)$\overset{d}{=}$ S(ρAB‖σAB),
其中S(ρAB‖σAB)=TrρAB(log2ρAB-log2σAB),极小值取遍所有的可分态σAB∈SAB。文献[104]提出了条件熵互信息纠缠度EI,
EI(ρAB)$\overset{d}{=}$ inf[I(AA':BB')-I(A':B')]。
其中下确界取遍ρAB的所有扩张ρAA'BB',即取遍所有满足TrA'B'ρAA'BB'=ρAB的态ρAA'BB'∈SAA'BB'。
1.2 两体纠缠度的单配性不等式
近20年来,人们基于式(1)定义的纠缠单配性陆续得到了一系列结果。文献[1]首次证明了对于3量子比特纯态|ψ>ABC,有
C2(|ψ>A|BC)≥C2(ρAB)+C2(ρAC),
再根据2量子比特态有C2=τ成立,进而证明了
τ(ρA|BC)≥τ(ρAB)+τ(ρAC)
对所有的3量子比特态ρABC成立。CKW由此猜测
τ()≥τ()+τ()+…+τ()
对于n量子比特态 也成立,n≥3。2006年,Osborne和Verstraete在文献[5]中通过证明
τ(ρA|BC)≥τ(ρAB)+τ(ρAC)
N2(ρA|BC)≥N2(ρAB)+N2(ρAC),
进而可得[6]
N2( )≥N2( )+N2( )+…+N2( )
对所有n量子比特系统的量子态 成立。2008年,Kim和Sanders[18]发现,对于n量子比特的W-类纯态
|W =a1|1…0 +…+an|0…1 , |ai|2=1,
使得式(31)等号成立(等价于C2(A1|A2…An)=C2(A1A2)+C2(A1A3)+…+C2(A1An)),继而发现对于dⓧn系统的W类纯态
| = (a1i|i…0 +…+ani|0…i ), |asi|2=1
都满足
C2(A1|A2…An)=C2(A1A2)+C2(A1A3)+…+C2(A1An)。
2009年,Kim等[7]证明了对于任何Schmidt秩为2的纯态以及任何2量子比特态(纯态或混合态), 总有2N=C,并由此证明对于任何n量子比特纯态|ψ ,总有
N2(|ψ )≥ ( )+ ( )+…+ ( )。
2010年,Kim和Sanders[19]证明了当α≥2时,对所有n量子比特系统的量子态 都有
Eα()≥Eα()+Eα()+…+Eα()。
2010年Kim在文献[53]中证明了当2≤q≤3时,
Eq( )≥Eq( )+Eq( )+…+Eq( )
( )≥ ( )+ ( )+…+ ( )
对所有n量子比特系统的量子态 成立。2015年,文献[11]证明了
(ρA|BC)≥ (ρAB)+ (ρAC), α≥2
和
(ρA|BC)≥ (ρAB)+ (ρAC), α≥
(ρA|BC)≥ (ρAB)+ (ρAC)
对任意2ⓧ2ⓧ2n系统中的量子态ρABC都成立,
( )≥ ( )+ ( )+…+ ( )
对所有n量子比特系统的量子态 成立。2021年,Gao等[97]证明了
( )≥ ( )+ ( )+…+ ( ), ∀α≥1,
( )≥ ( )+ ( )+…+ ( ), ∀α≥1,
对所有n量子比特系统的量子态 成立。文献[79]证明了
N2(|ψ>A|BC)≥N2(ρAB)+N2(ρAC)
对所有2ⓧ2ⓧ3系统中的纯态都成立,且对2ⓧ2ⓧ3或2ⓧ2ⓧ2n系统的所有态有
(ρA|BC)≥ (ρAB)+ (ρAC)
成立;此外还证明了
(|ψ )≥ ( )+ ( )+…+ ( ), α≥4ln 2,
对于所有n量子比特纯态成立,
( )≥ ( )+ ( )+…+ ( ), α≥4ln 2,
对于所有n量子比特态成立,
(|ψ>A|BC)≥ (ρAB)+ (ρAC),α≥4ln 2,
对所有2ⓧ2ⓧ3或2ⓧ2ⓧ2n系统中的纯态成立,
(ρA|BC)≥ (ρAB)+ (ρAC),α≥4ln 2,
对所有2ⓧ2ⓧ3或2ⓧ2ⓧ2n系统中的量子态成立。这些结论表明通过式(1)验证纠缠单配性通常是很困难的,尤其对于高维系统通常是无法计算的,而且即使是n量子比特系统,E也不是严格地满足式(1),而是Eα满足式(1)(α>0,通常α>1)。
对于单向可提纯纠缠度Ed和扁压纠缠度Esq, 2004年Koashi和Winter[3]证明了这两个纠缠度对于任何系统式(1)都成立,即都满足单配性。但并不是所有纠缠度都能够体现单配性。设|ψ>∈HAB的Schmidt分解为|ψ>= λk|ek>A|ek>B,则其Schmidt数
$\begin{aligned} S_{r}(|\psi\rangle) & =\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{\rho}^{A}\right)=\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{\rho}^{B}\right), \\ \boldsymbol{\rho}^{A, B} & =\operatorname{Tr}_{B, A}|\psi\rangle\left\langle\left.\psi\right|^{A B},\right. \end{aligned}$
这里ρi表示关于第i个子系统约化态。混合态ρ∈SAB的Schmidt数定义[105]为
Sr(ρ)$\overset{d}{=}$ Sr(|ψi>),
显然,若纠缠度E对于任何三体系统都满足单配性,则其对任意多体系统也具有单配性。即若E(A|BC)≥E(AB)+E(AC)对于任何系统都成立,则必有E( )≥E( )+E( )+…+E( )对于任何系统 成立。因此,讨论两体纠缠度的单配性关键是三体系统。
1.3 辅助纠缠及其多配性不等式
1998年,Divincenzo等首次提出了辅助纠缠(entanglement of assistance)概念[107-108]。设E是某个两体纠缠度,对于任意两体量子态ρAB,假设|Ψ>ABC为ρAB的一个纯化态,即ρAB=TrC|Ψ><Ψ|ABC,则E的辅助纠缠Ea(有时也记为Ea)定义为
Ea(ρAB)=max pjE(),
其中极大值取遍C系统所有的局域测量,{pj, }为|Ψ>ABC经过C系统的局域测量后AB系统的输出状态。根据文献[109]的结论可知
Ea(ρAB)=max pjE(|ψ ),
其中极大值取遍ρAB的所有纯态系综分解{pj,|ψj>AB|ρAB=∑jpj|ψj><ψj|AB}。
C2(A|BC)≤ (AB)+ (AB);
2007年,Gour等[54]证明了 对于n量子比特纯态都满足多配性。对于Schmidt秩为2的纯态|ψ>AB,C(|ψ>AB)=2N(|ψ>AB),且对于2量子比特态恒有Ca=2Na,从而有
N2(A1|A2…An)≤ (A1A2)+ (A1A3)+…+ (A1An)
S(ρA)≤Ef,a(ρAB)+Ef,a(ρAC)
对于任何纯态|ψ>ABC∈HABC都成立,其中
Ef,a(ρAB) $\overset{d}{=}$max piS( ),
(A1|A2…An)≤ (A1A2)+ (A1A3)+…+ (A1An)
$\overset{d}{=}$log2(2Na+1)
对于所有n量子比特纯态都满足
(A1|A2…An)≤ (A1A2)+ (A1A3)+…+ (A1An),0≤β≤2。
2 纠缠单配性的新定义
本节介绍我们在文献[62]中给出的纠缠单配性新定义及相关结果。下文中,ρA|BC表示把量子态ρABC看作A和BC(把BC看作一个整体)系统的一个两体量子态,E(ρA|BC)有时简记为E(A|BC)。
定义1 设E为纠缠度。若E对所有满足
E(ρA|BC)=E(ρAB)
的量子态ρABC∈SABC必有E(ρAC)=0成立,ρAC=TrB(ρABC),则称E满足单配性。
对比之前由式(1)定义的纠缠单配性,显然定义1的条件弱化了很多:若E满足式(1),则对任何满足式(39)的ρA|BC必有E(ρAC)=0。与式(1)定义的单配性不同,在定义1中我们不再需要验证任何不等式关系,而只需验证满足式(39)的量子态是否必有E(ρAC)=0。那么, 这一弱化的非纠缠条件是否能够充分地刻画出纠缠单配性?下面的定理将得出,对于刻画纠缠单配性, 只需非纠缠条件就足够了。
定理1 设E为连续纠缠度,dimHABC=d。则E按照定义1满足单配性当且仅当存在0<α<∞使得
Eα(ρA|BC)≥Eα(ρAB)+Eα(ρAC)
对所有ρABC∈SABC成立。
证明 设E满足非纠缠条件。由于E是纠缠度,故取偏迹后不增(此时偏迹运算是一种特殊的LOCC),因此对任意ρABC∈SABC有E(ρA|BC)≥max{E(ρAB),E(ρAC)}。不妨设E(ρA|BC)>0,记x1$\overset{d}{=}$E(ρAB)/E(ρA|BC),x2$\overset{d}{=}$E(ρAC)/E(ρA|BC)。当x1<1,γ→∞时, →0;当x1=1时则由假设知x2=0,因此必存在γ>0使得
+ ≤1。
我们用f(ρABC)表示满足式(41)成立的γ的最小值。由于E连续,因此f也连续,同时由于SABC是一紧集,故可定义
α$\overset{d}{=}$ f(ρABC)<∞。
显然α满足式(40)。证毕。
对于给定系统HABC,我们称满足式(40)的α最小值为E的单配性指数,记作α(E)。由定义可知,通常计算α(E)是很困难的,它不仅与E相关,而且与系统的维数有关,维数越大α(E)越大。表1根据目前文献中的结论(亦见上一节)列举了几种纠缠度的单配性指数的上界(由式(33)可知,对于n量子比特系统,α(C)=2,α(τ)=1。此外,由文献[13]可知,若凸扩张纠缠度E对于纯态当α=2时满足式(40),则当α=2时对于混合态也满足式(40))。此外,定理1虽然要求纠缠度具有连续性,但这一条件对于目前已有的纠缠度来说几乎都是自动成立,比如C、N、NF、Ef、τ、Eq、Eα、Er、EF、EF'和EAF都是连续的[63,88,111-113]。
表1 几种纠缠度的单配性指数上界估计Tab.1 Upper bound estimations of the monogamy power of several entanglement measures |
| 纠缠度 | α | 系统 | 参考文献 |
|---|---|---|---|
| Ed | ≤1 | 任何系统 | [3] |
| Esq | ≤1 | 任何系统 | [3] |
| C | 2 | 2ⓧ3,纯态 | [1] |
| τ | 1 | 2ⓧ2ⓧ2 | [1] |
| τ | 1 | 2ⓧ2ⓧ2m,2ⓧn | [5] |
| τ | >1 | 3ⓧ3ⓧ3 | [15] |
| Ef | ≤ | 2ⓧn | [8] |
| Ef | ≤ | 2ⓧ2ⓧ2m | [11] |
| Ef | >1 | 2ⓧ2ⓧ2 | [9] |
| N | ≤2 | 2ⓧn | [6] |
| N | ≤2 | 2ⓧ2ⓧ3,纯态 | [79] |
| NF | ≤2 | 2ⓧ2ⓧ2m | [11] |
| NF | ≤2 | 2ⓧn,纯态 | [7] |
| NF | ≤2 | 2ⓧ2ⓧ3 | [79] |
| Eq,2≤q≤3 | ≤1 | 2ⓧn | [53] |
| Eq,q∈ | ≤2 | 2ⓧ2ⓧ2m,2ⓧn | [35] |
| Eq,q∈ | > | 2ⓧ2ⓧ2 | [35] |
| Eα,α≥2 | ≤1 | 2ⓧn | [19] |
| Eα,α≥ | ≤2 | 2ⓧn | [33] |
| EB | ≤1 | 2ⓧn | [97] |
| EG | ≤1 | 2ⓧn | [97] |
| EN | ≤4ln 2 | 2ⓧn,纯态 | [79] |
| EN | ≤4ln 2 | 2ⓧ2ⓧ3,2ⓧ2ⓧ2n,纯态 | [79] |
| ≤4ln 2 | 2ⓧn | [79] | |
| ≤4ln 2 | 2ⓧ2ⓧ3,2ⓧ2ⓧ2n | [79] |
由式(42)可知,若式(40)成立,则对一切β≥α,必有Eβ(ρA|BC)≥Eβ(ρAB)+Eβ(ρAC)成立。亦即对于任何纠缠度E,只要确定了α(E)即可刻画纠缠单配性。
ρABC= qj ,
其中qj为某个概率分布。这类态也称为Markov态[110]。
定理2 设E为纠缠单调,则所有Markov态满足式(39)。
证明 纠缠作为物理资源来说,增加辅助系统不影响其关联性。因此,对于子系统HB=⊕j ,添加一个辅助系统B'以体现子空间 的正交性。这一过程可通过从 到 ⓧ|j><j|B'的等距映射来实现,其中系统BL和BR的维数分别为maxjdim( ),maxjdim( )。因此,不失一般性,任意Markov态可表示为
ρABC= qj ⓧ|j><j|B'ⓧ 。
此时,对于任意纠缠单调E,有
E(ρA|BC)= qjE( )= qjE( ),
E(ρAB)= qjE( )= qjE( ),
其中 =TrC( )。显然式(39)成立,证毕。
显然可表示为式(43)的量子态,其约化态ρΑC可分, 因而具有单配性(与纠缠度的选取无关)。因此,验证一个纠缠单调是否具有单配性需要验证满足式(39)的非Markov态。下一节将证明对于所有凸扩张纠缠单调满足式(39)的纯态都是Markov态,但对于混合态存在非Markov态也满足式(39),但这种非Markov态与Markov态的结构非常相近。也许对于某些纠缠单调这种态并不存在。
对于给定纠缠度,一般来说直接验证混合态是否满足非纠缠条件是有难度的。但对于凸扩张纠缠度,只需验证满足式(39)的纯态即可。
定理3 设EF为某个凸扩张纠缠单调。若EF对于所有HABC中的纯态满足非纠缠条件,则EF对于所有混合态也满足非纠缠条件,即EF具有单配性。
证明 设ρABC=∑jpj|ψj><ψj|ABC∈SABC,系统{pj,|ψj>ABC}使得
EF(ρA|BC)= pjEF(|ψj>A|BC)。
不妨设pj>0。现假设EF(ρA|BC)=EF(ρAB),记 $\overset{d}{=}$TrC|ψj><ψj|ABC。由于删除子系统不会增加纠缠,ρAB=∑jpj 且EF为凸函数,因此
pjEF(|ψj>A|BC)≥ pjEF( )≥EF(ρAB)。
此时,若EF(ρA|BC)=EF(ρAB),则上面的不等式即为等式,故
pjEF(|ψj>A|BC)= pjEF( )。
再由EF(|ψj>A|BC)≥EF( )可知EF(|ψj>A|BC)=EF( )对任意j成立。按假设条件,EF对于纯态满足非纠缠条件,即对任意j,EF( )=0,其中 =TrB|ψj><ψj|ABC。从而EF(ρAC)=EF =0。证毕。
下面讨论满足式(39)的量子态有什么性质。我们将证明这类态对于任何三体LOCC,其导出的两体约化态的纠缠均值都不能增加。导出的两体约化态的纠缠均值达到最大的量可用协作纠缠(entanglement of collaboration)[107]来表示。对于任意两体纠缠度E,其协作纠缠定义为
(ρABC)=max pjE(),
其中极大值取遍所有三体LOCC,{pj, }为ρABC经过LOCC后AB系统的输出系综。值得注意的是,这一系综不一定是ρAB的系综,即可能ρAB≠∑jpj 。显然,对于|Ψ>ABC∈HABC,
(|Ψ>ABC)≥Ea(ρAB)。
Gour和Spekkens[107]证明了存在某些|Ψ>ABC使得
(|Ψ>ABC)>Ea(ρAB)。由此,可得以下定理。
定理4 设E为纠缠单调。若ρABC∈SABC为满足式(39)的纯态,则
E(ρAB)=EF(ρAB)=Ea(ρAB)= (ρABC)。
证明 设{ ,pj}为使得式(45)成立的最优系综。由于E是纠缠单调,故
E(ρA|BC)≥ pjE( )= (ρABC)。
另一方面
E(ρAB)≤EF(ρAB)≤Ea(ρAB)≤ (ρABC),
故由假设E(ρAB)=E(ρA|BC),得证。
文献[28]证明了负性纠缠度N对于纯态来说满足单配性,再由定理3和定理4,可知NF也满足单配性。下面继续探讨对于任给纠缠度E,满足EF(ρAB)=Ea(ρAB)的ρAB有何特殊性质。我们用supp(ρAB)表示ρAB的支撑(support),即由ρAB的特征向量张成的子空间。
定理5 设E是某个两体纠缠度,ρAB∈SAB。若EF(ρAB)=Ea(ρAB),则对任何满足supp(σAB)⊆supp(ρAB)的σAB∈SAB,有EF(σAB)=Ea(σAB)成立。
pjEa()= pjEF()。
同时注意到,对所有j,有EF( )≤Ea( ),故EF( )=Ea( )对所有j成立。用F(ρAB)表示SAB中ρAB所有可能的系综分解{pj, }中出现的 组成的集合(在凸分析中,称F(ρAB)为SAB的一个面(face))。显然,σAB∈F(ρAB)蕴涵EF(σAB)=Ea(σAB)。另一方面,若σAB∈SAB符合supp(σAB)⊂supp(ρAB),则必存在ε>0使得ρAB-εσAB≥0。令γAB$\overset{d}{=}$ (ρAB-εσAB)/(1-ε),则γAB∈SAB,ρAB=εσAB+(1-ε)γAB,即σAB∈F(ρAB)。从而得EF(σAB)=Ea(σAB)。证毕。
显然,supp(σAB)⊆supp(ρAB)等价于σAB∈F(ρAB)。SAB的每个面F(ρAB)都是SAB的凸子集,而且tρ1+(1-t)ρ2∈F(ρAB),ρ1,ρ2∈SAB,0<t<1,蕴涵ρ1,ρ2∈F(ρAB)。设σAB$\overset{d}{=}$tσ1+(1-t)σ2,t∈[0,1],σ1,σ2∈F(ρAB),则存在p,q∈(0,1],γ1,γ2∈SAB使得
ρAB=pσ1+(1-p)γ1=qσ2+(1-q)γ2。
第一个等式蕴涵 ρAB=tσ1+ γ1,第二个等式则说明
ρAB=(1-t)σ2+ γ2。
这样
ρAB=σAB+ γ1+ γ2。
两边同时除以 + ,显然σAB∈F(ρAB)。此外,若τ$\overset{d}{=}$tρ1+(1-t)ρ2∈F(ρAB),ρ1,ρ2∈SAB,0<t<1,则显然ρ1,ρ2∈F(ρAB)。
特别地,对于3量子比特系统,有如下结论。
推论1 设ρAB为2量子比特纠缠混合态,E是某个纠缠度,且当ρ1≠UAⓧUBρ2 时E(ρ1)≠E(ρ2),UA,B为任意2阶酉算子。则以下结论成立。
1)若EF(ρAB)=Ea(ρAB),则
ρAB=TrC|W><W|ABC,
其中|W>为3量子比特W-类态, 即
|W>=λ1|100>+λ2|010>+λ3|001>+λ4|000>,λi∈C。
2)若ρAB=TrC|W><W|ABC,则C(ρAB)=Ca(ρAB)。
证明 对于2量子比特纯态,E总可以表示为concurrence的单调递增函数[115-116],即E(|ψ>AB)=g(C(|ψ>AB))。由于C也满足当ρ1≠UAⓧUBρ2 时C(ρ1)≠C(ρ2),因此g是严格单调函数。Wootters在文献[72]中证明,对于2量子比特态ρAB,总存在某个纯态系综分解{pi,|ψi>},使得C(|ψi>)=C(ρAB)对任意i成立。从而
EF(ρAB)≤ pjg(C(|ψj>AB))=g(Cf(ρAB))。
另外,也存在纯态系综{qk,|ϕk>AB}使得对每个k都有C(|ϕk>AB)=Ca(ρAB)[4]。故而
Ea(ρAB)≥ qkg(C(|ϕk>AB))=g(Ca(ρAB))。
因此,EF(ρAB)=Ea(ρAB)蕴涵C(ρAB)=Ca(ρAB)。令R= ,ρ$\overset{d}{=}$ρAB, $\overset{d}{=}$σyⓧσyρ*σyⓧσy,则C(ρAB)=λ1-λ2-λ3-λ4,其中λ1,λ2,…,λ4为R的特征值(降序排列)[72]。而文献[4,117]证明了Ca(ρAB)=Tr[R]=λ1+λ2+λ3+λ4。此即说明,C(ρAB)=Ca(ρAB)当且仅当R是秩一算子。由R是秩一算子可知ρAB只能是二秩的。从而,存在3量子比特纯态|ψ>使得ρAB=TrC|ψ><ψ|。文献[44]证明3量子比特纯态可分为6个等价类: 3-可分、2-可分、W-类和GHZ-类。容易验证,只有W-类态有约化态为2秩纠缠态,且任何W-类态都存在至少一个两体约化态为2秩纠缠态。这里W-类态,即[44]
|W>=λ1|100>+λ2|010>+λ3|001>+λ4|000>, λi∈C。
反之,容易验证,对于任意W-类态(式(49)),其任何两体约化态都满足TrR2=(TrR)2,即R是秩一的,从而可知C(ρAB)=Ca(ρAB)。证毕。
对于四体或四体以上系统可类似讨论。以四体为例,设E为纠缠度。若E对所有满足
E(ρA|BCD)=E(ρAB)
的量子态ρABCD∈SABCD必有E(ρAC)=E(ρAD)=0成立,对所有满足
E(ρAB|CD)=E(ρAC)
的量子态ρABCD∈SABCD必有E(ρAD)=E(ρBC)=E(ρBD)=0成立,对所有满足
E(ρAB|CD)=E(ρAB|C)
的量子态ρABCD∈SABCD必有E(ρAB|D)=0成立,则称E满足单配性。
3 两体凸扩张纠缠度的单配性
从前面的讨论可知, 要按照定义1验证纠缠度的单配性通常是很困难的,能验证的多数是n量子比特系统,对于高维系统除单向可提纯纠缠度和扁压纠缠度外都是未知的[1,3,5-13,15,19,21,25,33,35,55]。同样,按定义1直接验证也很复杂。下面给出我们在2019年得到的按照定义1验证单配性的一种方法,这种验证方法适用于所有凸扩张纠缠单调,而且与系统的维数无关[63]。这种验证方法也充分说明了定义1的优越性。
定理6 设E为通过约化函数定义的纠缠单调,且其约化函数h是严格凹的,即h满足不等式(7)且当ρ1≠ρ2,0<λ<1时,h[λρ1+(1-λ)ρ2]>λh(ρ1)+(1-λ)h(ρ2),则以下结论成立。
1)若ρABC=|ψ><ψ|ABC满足式(39),则HB包含同构于形如 的子空间,使得在HB和HC系统上的局域酉等价意义下,|ψ>ABC可表示为
|ψ>ABC=|ϕ |η ,
其中|ϕ ∈ 和|η ∈ 都是纯态。此时ρAC为乘积态,从而E(ρAC)=0,即E对于所有纯态都满足单配性。
2)对于混合态ρABC∈SABC,若EF(ρA|BC)=EF(ρAB),则
ρABC= px|ψx><ψx|ABC,
其中{px}为某个概率分布,对于每个x,状态空间HB存在同构于形如 的子空间使得在HB和HC系统上的局域酉等价意义下,每个|ψx>ABC都可表示为如下形式:
|ψx>ABC=|ϕx |ηx 。
显然,ρAC可分,即EF具有单配性。
注1 定理6中E为纠缠单调这一条件可弱化为E对所有量子态满足E≤EF。这是因为在该定理证明所依赖的定理4中,把E为纠缠单调这一条件可弱化为E≤EF仍然成立。
注2 该定理表明,若E的约化函数h是严格凹函数,则对任意纯态|ψ>ABC,E(|ψ>A|BC)=EF(ρAB)蕴涵E(ρAB)=EF(ρAB),亦即E(|ψ>A|BC)=E(ρAB)等价于E(|ψ>A|BC)=EF(ρAB)。定理4证明了当E(|ψ>A|BC)=E(ρAB)时,E(ρAB)=EF(ρAB),但并不知是否可由E(|ψ>A|BC)=EF(ρAB)得出E(ρAB)=EF(ρAB)(一般地,E(ρAB)≤EF(ρAB),比如负性纠缠度N,N≤NF)。
证明 1)由定理4,若ρABC$\overset{d}{=}$|ψ><ψ|ABC满足式(39),则ρAB的任何纯态系综分解都有相等的纠缠均值。设ρAB= pj|ψj><ψj|AB为ρAB的任一纯态系综分解,n=rank(ρAB),则
E(ρAB)≤EF(ρAB)= pjE(|ψj><ψj|AB)。
另外,由于EF为纠缠单调,从而有
EF(ρAB)≤E(|ψ><ψ|A|BC)=h(ρA)。
记 $\overset{d}{=}$TrB|ψj><ψj|AB,可得当式(39)成立时必有
pjh( )=h(ρA)。
而ρA= pj ,由假设h是严格凹的,故
=ρA,j=1,2,…,n。
记r$\overset{d}{=}$rank(ρA)≤dim HB,令 为HB的一个r维子空间使得存在某个|ϕ ∈ ,ρA=T |ϕ><ϕ 。注意到{|ψj>AB}中的每个纯态都有相同的约化态ρA,因此|ψj>AB与|ϕ 之间存在某个局域等距算子。即存在等距算子{ }使得
$\begin{array}{c} \left|\psi_{j}\right\rangle^{A B}=\left(\boldsymbol{I}^{A} \otimes \boldsymbol{V}_{j}^{B_{1} \rightarrow B}\right)|\phi\rangle^{A B_{1}}, \\ j=1,2, \cdots, n 。 \end{array}$
设ρAB= qk|ϕk><ϕk|AB为ρ的另一个纯态系综分解, 且分解个数也是n。同理,也存在等距算子 使得
|ϕk>AB=(IAⓧ )|ϕ ,k=1,2,…,n。
由于{pj,|ψj>AB}和{qk,|ϕk>AB}都是ρAB的系综分解,故存在酉矩阵U=(ukj)使得
$\begin{array}{r} \sqrt{q_{k}}\left|\phi_{k}\right\rangle^{A B}=\sum_{j=1}^{n} u_{k j} \sqrt{p_{j}}\left|\psi_{j}\right\rangle^{A B}= \\ \left(\boldsymbol{I}^{A} \otimes \sum_{j=1}^{n} u_{k j} \sqrt{p_{j}} \boldsymbol{V}_{j}^{B_{1} \rightarrow B}\right)|\phi\rangle^{A B_{1}} 。\end{array}$
令
$\boldsymbol{X}_{k^{1}}^{B_{1} \rightarrow B} \overset{d}{=} \frac{1}{\sqrt{q_{k}}} \sum_{j=1}^{n} u_{k j} \sqrt{p_{j}} \boldsymbol{V}_{j^{1}}^{B_{1} \rightarrow B}, k=1,2, \cdots, n,$
则有
(IAⓧ )|ϕ =(IAⓧ )|ϕ 。
此即蕴涵 = ,亦即对任意酉矩阵U=(ukj), 都是等距。由于U=(ujk)为任意酉矩阵,可取其第一行{u1j}j为任一单位向量。从而可知,{ }的任何线性组合都是某个等距算子的倍数。
以下讨论{ }的具体性质。每个等距算子 都可以表示为
= |vjk><k|,
其中{|k>}为 的一组标准正交基,对于每个j,{|vkj>}k为HB的一组标准正交集。这样,{Vj}的任意线性组合∑jcjVj可表示为
$\begin{array}{c} \sum_{k, j} c_{j}\left|v_{k j}\right\rangle\left\langle k\left|\overset{d}{=} \sum_{k}\right| u_{k}\right\rangle\langle k|, \\ \left|u_{k}\right\rangle \overset{d}{=} \sum_{j} c_{j}\left|v_{k j}\right\rangle 。\end{array}$
所以,∑jcjVj是某个等距算子的倍数当且仅当∀k≠k',<uk'|uk>=0且‖uk‖=‖uk'‖。注意到
<uk'|uk>= cj <vk'j'|vkj>,
以下讨论<vk'j'|vkj>。对任意给定k和k',上面等式可看作向量vkk'和 ⓧc的内积,其中vkk'的坐标元为<vk'j'|vkj>, ⓧc的坐标元为 cj'。因为当k≠k'时,vkk'与任何形如 ⓧc的向量都正交,所以vkk'必为零向量。由此可知
<vk'j'|vkj>=0, k≠k'
以及某个与k无关的djj'使得
<vkj'|vkj>=djj'≠1。
此外,取ρAB的谱分解ρAB=∑jpj|ψj><ψj|AB,此时
$\begin{array}{l} \left\langle\psi_{j^{\prime}} \mid \psi_{j}\right\rangle^{A B}= \\ \quad\left\langle\left.\phi\right|^{A B_{1}}\left(\boldsymbol{I}^{A} \otimes \sum_{k, k^{\prime}}\left|k^{\prime}\right\rangle\left\langle v_{k^{\prime} j^{\prime}} \mid v_{k j}\right\rangle\langle k|\right) \mid \phi\right\rangle^{A B_{1}}= \\ \quad\left\langle\left.\phi\right|^{A B_{1}}\left(\boldsymbol{I}^{A} \otimes \sum_{k}|k\rangle\left\langle v_{k^{\prime} j^{\prime}} \mid v_{k j}\right\rangle\langle k|\right) \mid \phi\right\rangle^{A B_{1}}= \\ \quad\left\langle\left.\phi\right|^{A B_{1}}\left[\boldsymbol{I}^{A} \otimes d_{j j^{\prime}}\left(\sum_{k}|k\rangle\langle k|\right)\right] \mid \phi\right\rangle^{A B_{1}}= \\ \quad\left\langle\left.\phi\right|^{A B_{1}}\left(\boldsymbol{I}^{A} \otimes d_{j j^{\prime}}, \boldsymbol{I}^{B_{1}}\right) \mid \phi\right\rangle^{A B_{1}}=\delta_{j j^{\prime}} \end{array}$
对任意k都成立。由以上讨论可得
<vk'j'|vkj>=δjj'δkk'。
记K$\overset{d}{=}$span{|vkj>}⊂HB,则上式蕴涵K≅ ,其中 也是HB的子空间。因此存在酉变换把{|vkj>}转换为{|k |j }⊆ ,即存在UB使得
$\begin{array}{l} \boldsymbol{V}_{j_{1} \rightarrow B}^{B_{1}}=\sum_{k}\left|v_{k j}\right\rangle\langle k|= \\ \boldsymbol{U}^{B}\left(\sum_{k}|k\rangle\left\langle k\left|{ }^{B_{1}} \otimes\right| j\right\rangle^{B_{2}}\right)= \\ \boldsymbol{U}^{B}\left(\boldsymbol{I}^{B_{1}} \otimes|j\rangle^{B_{2}}\right) 。 \end{array}$
故而
$\begin{aligned} \left.\psi_{2}\right\rangle^{A B} & =\left(\boldsymbol{I}^{A} \otimes \boldsymbol{U}^{B}\right)|\phi\rangle^{A B_{1}}|j\rangle^{B_{2}}, \\ & =1,2, \cdots, n, \end{aligned}$
这样就得到
ρAB=(IAⓧUB)(|ϕ><ϕ ⓧ
)(IAⓧUB)†,
其中 =∑jpj|j><j 。所以,ρAB有纯化态
(IAⓧUBⓧIC)|ϕ |η ,
其中|η $\overset{d}{=}$∑jpj|j |j>C。由于ρAB在HABC的不同纯化态关于子系统C是局域酉等价的,因此可断言|ψ>ABC在HB和HC系统的局域酉等价意义下可表示为式(52)的形式。从而,ρAC为乘积态,E(ρAC)=0,即E对于纯态满足单配性。
2)不妨设{px,|ψx>ABC}为ρABC=∑xpx|ψx><ψx|ABC的一个纯态系综分解,使得
EF(ρA|BC)= pxE(|ψx>A|BC)。
记 $\overset{d}{=}$TrC(|ψx><ψx|ABC,则
ρAB=TrC(ρABC)= px 。
因此EF(ρA|BC)=EF(ρAB)蕴涵
pxE(|ψx>A|BC)=EF(ρAB)≤ pxEF( )。
另一方面,由于EF是纠缠度,故对任意的x有E(|ψx>A|BC)≥EF( )。综上可得
E(|ψx>A|BC)=EF(),∀x。
再由结论1,证毕。
由以上证明过程可知,当B系统状态空间的维数不超过3时,对于每个x,必有 或者 是一维的。此时,有以下推论。
推论2 在定理6的条件下,若dim HB≤3,EF(ρA|BC)=EF(ρAB),则ρABC为2-可分态:
ρABC=tσA|BC+(1-t)γAB|C,
其中σA|BC是A|BC可分的,γAB|C是AB|C可分的,t∈[0,1]。特别地,当ρABC=|ψ><ψ|ABC为纯态时,要么|ψ>ABC=|ϕ>AB|η>C,要么|ψ>ABC=|ϕ>A|η>BC。
对于纯态,还可以进而得到以下结论(该结论取自文献[118])。
定理7 设E为某个由式(6)定义的纠缠单调,|ψ>ABC∈HABC为纯态。若E的约化函数h是严格凹的,则
EF(ρAB)=E(|ψ>A|BC)⇔ρAC=ρAⓧρC。
证明 由定理6,只需验证ρAC=ρAⓧρC⇒EF(ρAB)=E(|ψ>A|BC)。对于纯态|ψ>ABC∈HABC,若ρAC=ρAⓧρC,设rank(ρA)=m,ρA的谱分解为ρA=∑i( )2|ψi><ψi|A,rank(ρC)=n,ρC的谱分解为ρC=∑j( )2|ψj><ψj|C。不难验证|ψ>ABC可表示为
|ψ>ABC= |ψi>A|ψij>B|ψj>C,
其中<ψij|ψkl>B=δikδjl(∑i,j )2|ψij><ψij|B为约态化ρB的谱分解)。记K$\overset{d}{=}$span{|ψij>B}⊆HB,则存在HB的子空间 和 使得K≅ 。故而可知必存在酉算子UB使得
UB|ψij>B=|xi |yj ,∀i,j。
所以,在局域酉等价意义下,
|ψ>ABC=|ψ |ψ
其中
|ψ =∑i |ψi>A|xi ,
|ψ =∑j |yj |ψi>C。
显然E(ρAB)=E(|ψ>A|BC)。证毕。
注3 定理7说明,若ρAC可分但ρAC≠ρAⓧρC,则E(ρAB)<E(|ψ>A|BC)。比如,广义GHZ态
|ψ>ABC= λk|k>A|k>B|k>C,
显然ρAC可分,但ρAC≠ρAⓧρC,此时E(ρAB)=0<E(|ψ>A|BC)。再由推论1和定理6可知,对于3量子比特W-类态,记 =TrZ|W><W|,{X,Y,Z}={A,B,C},尽管EF( )=Ea( ),X∈{A,B,C},但EF( )<E(|W>X|YZ)。
根据定理6,验证由约化函数式(6)定义的纠缠单调的单配性,可以先验证h是否为严格凹的。下面讨论目前已知的纠缠单调其约化函数h是否满足这一条件。设g:[0,1]→R+,则当g为凹函数时,
hg(ρ)=Tr[g(ρ)]= g(pj)
即可通过式(6)和式(5)定义一个纠缠单调,其中pj表示ρ的特征值。而且,当g″(p)<0对所有0<p<1成立时,hg是严格凹的。显然,当g(ρ)=-ρlg ρ时,hg即为von Neumann熵。当hg(ρ)=(1-q)-1[Tr(ρq)-1]时,即为Tsallis q-熵;当hg(ρ)=(1-α)-1ln(Trρα)时,即为Rényi α-熵。S(·)和Sq(·)是严格凹的[119],当0≤α≤1时Sα(·)也是严格凹的[68]。因此形成纠缠度、Tsallis q-熵纠缠度Eq和Rényi α-熵纠缠度Eα都具有单配性(当0<α<1时)。当q=2时,Tsallis 2-熵即线性熵(linear entropy)T2(ρ)=2(1-Trρ2),故E2=τ,因此τ满足单配性。注意到对于纯态,除形成纠缠度Ef外,相对熵纠缠度Er、代价纠缠度Ec、可提纯纠缠度Ed和条件熵互信息纠缠度EI也都等于其约化态的von Neumann熵S(ρ)=-Tr(ρlog ρ)。而von Neumann是严格凹的[119],因此这几种纠缠度对于纯态都满足单配性。当k≠1时,式(16)中的hk是严格凹函数[120],文献[88]证明了EF、EF'和EAF的3个约化函数都是严格凹的,因此Ck、EF、EF'和EAF也都满足单配性。注意到C2和concurrence C相差一个常数因子[80],因此由h2的严格凹性可知C的约化函数也是严格凹的,故C也满足单配性。显然Cq(q≥2)的约化函数也是严格凹函数,故q-concurrence也具有单配性。
当然,也可以通过其他途径来判断纠缠度的单配性。对任给纠缠单调E,设g:R+→R+为单调递增函数,当且仅当x=0时g(x)=0。令
$E_{g}\left(\rho^{A B}\right) \overset{d}{=} \min \sum_{j} p_{j} g\left[E\left(\left|\psi_{j}\right\rangle^{A B}\right)\right],$
其中极小值取遍所有纯态系综分解
ρAB= pj|ψj><ψj|AB。
若g是凸函数,则
Eg(ρAB)≥g[E(ρAB)]。
因此,若Eg是纠缠度且对于纯态满足单配性,则E也对于纯态满足单配性。事实上,假设E(ψA|BC)=E(ρAB),则
Eg(|ψ>A|BC)=g[E(|ψ>A|BC)]=g[E(ρAB)]≤Eg(ρAB)。
由于Eg是纠缠度,故Eg(|ψ>A|BC)≥Eg(ρAB),从而可得Eg(|ψ>A|BC)=Eg(ρAB)。由假设Eg满足单配性,所以Eg(ρAC)=0,因此E(ρAC)=0,即E对于纯态也具有单配性。比如,取g(x)=x2,E=C,则Eg=C2=τ,即也可以从τ满足单配性推出C也具有单配性。
至此,已经证明对于目前已有的凸扩张纠缠度,除E2、Emin和Schmidt数纠缠度外都满足单配性。这也从某种程度说明,纠缠的单配性是纠缠作为物理资源的固有属性而与纠缠度的选取无关。对于除单向可提纯纠缠度和扁压纠缠度之外的代价纠缠度、相对熵纠缠度、负性纠缠度等非凸扩张纠缠度,尽管目前还没有证明其单配性,猜测他们也满足单配性。
4 LOCC 的严格单调性
定义2 设E为纠缠度。若对任意具有以下形式的LOCC:
{Φ={Φj}|TrΦj(ρ)=pj, pj=1,Φj(ρ)≠pj ρ()†ⓧ()†},
总存在ρ∈SAB使得
E(ρ)> pjE(σj),
则称E在随机LOCC下是严格均值不增的(简称LOCC严格均值不增),或称E是LOCC严格纠缠度,其中pjσj=Φj(ρ), 为状态空间HX上的酉算子,X=A,B。等价地,E是LOCC严格均值不增的当且仅当若
E(ρ)= pjE(σj),∀ρ∈SAB,
则该LOCC要么是局域酉操作(若LOCC是从系统A+B到系统A'+B'的映射且维数不相等, 则为局域等距操作。下文总假设前后系统维数相等),要么是局域酉操作的凸组合。若纠缠单调E是LOCC严格均值不增的,称E为LOCC严格纠缠单调(LOCC-SEM);若纠缠度(纠缠单调)E对于纯态是LOCC严格均值不增的,即式(72)对于纯态成立,称E关于纯态是LOCC严格纠缠度(LOCC严格纠缠单调)。
由定义,以下推论显然。
推论3 设E为纠缠度(纠缠单调)。若E关于纯态是LOCC严格纠缠度(LOCC严格纠缠单调),则E是LOCC严格纠缠度(LOCC严格纠缠单调)。
性质1 设EF为某个凸扩张纠缠度,其约化函数为h。若h是严格凹函数,则EF为LOCC严格纠缠单调。
证明 由推论3,我们只需讨论纯态情形。若h是严格凹的,假设
E(|ψ><ψ|)≥ pkEF(σk)
中的等号成立,则由E(|ψ><ψ|)=h(ρA)=h(σA)和∑kpkh( )=∑kpkEF(σk)可知
h(σA)=h = pkh(),
其中ρA=TrB|ψ><ψ|, =TrBσk,σA=∑kpk 。此即表明 = ,∀k,l,从而可知要么存在某个局域酉变换ΦB使得Φk=1ⓧΦB(此时k=1),要么Φk(·)=pkIAⓧ (·)IAⓧ( )†, 为酉算子,∑kpk=1。证毕。
定理8 设E为纠缠单调,约化函数为h。则h严格凹当且仅当E对于任何{Φ={Φj}:Φj(·)=IAⓧMj(·)IAⓧ }以及任何纯态ρ∈SAB,若存在某个j0使得
≠ρA,
则必有式(72)成立,其中pjσj=Φj(ρ),XA=TrBX。
证明 必要性显然。反之,若式(76)成立必有式(72)成立,亦即若E(ρ)=∑jpjE(σj)则必有 =ρA对所有j都成立。注意到ρ为纯态,ρA=∑jpj ,且ρA的任何系综分解都可以通过形如Φj的局域操作实现[109],从而有h(ρA)=∑jpjh( )当且仅当 =ρA对所有j都成立,即h是严格凹的。
注4 若E对于任何LOCC{Φ={Φj}:Φj(·)=IAⓧMj(·)IAⓧ }以及任何纯态ρ∈SAB,若存在某个j0使得 ≠ρA,则必有式(72)成立,则E对于纯态为LOCC严格纠缠单调。而LOCC严格纠缠单调只要求存在某个纯态使得式(72)成立,故反之不然, 即E对于纯态为LOCC严格纠缠单调不一定能保证前面条件成立。
定理9 负性纠缠度N对于纯态是LOCC严格纠缠单调,从而是LOCC严格纠缠单调;对数负性纠缠度EN对于纯态是LOCC严格纠缠度。
证明 根据文献[77]中LOCC单调性的证明,对于LOCC,只需考虑一组完全正线性映射{Φk},其中Φk(ρ)=pkσk,ρ∈SAB,Φk(X)=IAⓧMkXIAⓧ ,∑k Mk=IB。任取ρ∈SAB,N(ρ)>0,记
=(1+a)ρ+-aρ-,
其中(1+a)ρ+和aρ-分别表示 的正部和负部,即N(ρ)=a,ρ+ρ-=ρ-ρ+=0,不难看出
pk =(Φk(ρ) =Φk()=(1+a)Φk(ρ+)-aΦk(ρ-)。
显然N(σk)≤qka/pk,qk=TrΦk(ρ-)。因此,若式(73)成立,则有N(σk)=qka/pk,从而Φk(ρ+)Φk(ρ-)=Φk(ρ-)Φk(ρ+)=0。取ρ=|ψ><ψ|,|ψ>=∑jλj·|ja>|jb>为Schmidt分解,则
|ψ><ψ = |ja><ja|ⓧ|jb><jb|+ λiλj| >< |- λiλj| >< |,
其中| >= (|ia>|jb>±|ja>|ib>)。记Mk|jb>$\overset{d}{=}$| >,则可推出< | >=< | >对任意i、j成立。由|ψ>的任意性可知Mk是酉算子的倍数,从而可知{Φk}为局域酉变换(即k=1)或一组局域酉变换的凸组合。
对任意ρ∈SAB,有N(ρ)≥∑jpjN(σj)。由于对数函数当底数大于1时是严格凹的且严格单调递增,故
EN(ρ)≥log2 ≥ pjEN(σj)。
当EN(ρ)=∑jpjEN(σj)时必有EN(ρ)=log2[∑jpjN(σj)],从而N(ρ)=∑jpjN(σj)。而以上已经证明N对于纯态是LOCC严格纠缠单调,故可推知EN对于纯态是LOCC严格纠缠度。证毕。
以上讨论也说明,若E是LOCC严格纠缠单调,f为严格递增的严格凹函数,则f(E)也是LOCC严格均值不增的(但不再是纠缠单调)。此外,由于提纯纠缠度Ed、代价纠缠度Ec、相对熵纠缠度Er、扁压纠缠度Esq和条件熵互信息纠缠度EI对于纯态即为约化态的von Neumann熵,故由推论3可知,Ed、Ec、Er、Esq和EI对于纯态都是LOCC严格纠缠单调(从而都是LOCC严格纠缠单调)。由于EF、EF'和EAF的约化函数都是严格凹函数,因此由性质1可知这3个纠缠单调也都是LOCC严格纠缠单调。但并不是所有纠缠度都是LOCC严格纠缠度。比如Schmidt数纠缠度,满足式(73)的LOCC不一定都是局域酉变换或局域酉变换的凸组合。再如E2和Emin也不是LOCC严格单调的。以E2为例说明,取[99]
|ψ0>AB=a0|0>A|0>B+a1|1>A|1>B+a2|2>A|2>B,
|ψ1>AB= |0>A|3>B+ |1>A|2>B+ |2>A|1>B。
其中: =a ≥ ;a'1a2≠a1a'2;∑i =∑ia =1;a0>a1≥a2;a'0>a'1≥a'2,令
|Ψ>= (|ψ0>AB|0>C+|ψ1>AB|1>C)。
对于LOCC{IAⓧIBⓧ|0><0|C,IAⓧIBⓧ|1><1|C}作用于|Ψ>ABC,则输出
$\begin{array}{l} \left\{\frac { 1 } { 2 } | \psi _ { 0 } \rangle \langle \psi _ { 0 } | ^ { A B } \otimes | 0 \rangle \left\langle\left.0\right|^{C},\right.\right. \\ \quad \frac{1}{2}\left|\psi_{1}\right\rangle\left\langle\left.\psi_{1}\right|^{A B} \otimes \mid 1\right\rangle\left\langle\left. 1\right|^{C}\right\}, \end{array}$
这里IA,B指HA,B上的恒等算子。显然,该LOCC不是局域酉变换也不是局域酉变换的凸组合,但根据文献[99]的讨论可知,E2满足式(73),即E2不是LOCC严格单调的。从而猜测,若约化函数不是严格凹的,则E不是LOCC严格单调的。
最后,表2总结了目前常见的几种纠缠度的单配性、LOCC严格均值不增性、约化函数的严格凹性等性质。
表2 几种常见纠缠度的单配性、LOCC严格均值不增性Tab.2 Monogamy and the strict LOCC monotonicity of several entanglement measures |
| 纠缠度 | 连续性 | 可加性 | 凸性 | 约化函数h | 单配性 | LOCC严格单调 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ed(单向) | ? | ×[122] | ×[122] | 严格凹 | 所有态 | √ |
| Ec | ? | √ | √[121] | 严格凹 | 纯态 | √ |
| Ef | √ | ×[123] | √ | 严格凹 | 所有态 | √ |
| C | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| Ck,k>1 | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| N | √ | √ | 严格凹 | 纯态 | √ | |
| NF | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| EN | √ | √[77] | × | 严格凹 | 纯态 | √ |
| τ | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| √[124] | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| Eq,q>0 | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| Eα,0≤α≤1 | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| Er | √ | ×[125] | √ | 严格凹 | 纯态 | √ |
| √ | √ | √ | 严格凹 | 纯态 | √ | |
| Sr | × | ×[105] | × | 不严格凹 | × | × |
| EF | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| EF' | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| EAF | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| Cq | √ | √ | 严格凹 | 所有态 | √ | |
| × | √ | 不严格凹 | × | × | ||
| × | √ | 不严格凹 | × | × |
5 辅助纠缠的多配性
与验证纠缠度的单配性类似,根据式(2)验证多配性显然是很困难的。根据第2~3节关于单配性的讨论可知,式(2)也不是多配性关系的本质特征。为此,我们在文献[61]给出了多配性的新定义并证明了辅助纠缠都满足多配性,下面先给出多配性的新定义。
定义3 设Q为某个两体量子关联度量。若对任何满足
Q(ρA|BC)>max{Q(ρAB),Q(ρAC)}>0
的ρABC∈SABC都有min{Q(ρAB),Q(ρAC)}>0,则称Q具有多配性。
显然,定义3并没有直接体现出像前面式(2)的多配性不等式关系,那么该定义是否能体现多配性的本质特征呢?下面的定理将回答这一问题。
定理10 设Q为某个连续的两体量子关联度量,dimHABC=d<∞。则Q按照定义3具有多配性当且仅当存在某个0<β<∞使得
Qβ(ρA|BC)≤Qβ(ρAB)+Qβ(ρAC)
对所有ρABC∈SABC成立。
证明 对任给ρABC,设Q(ρA|BC)=x,Q(ρAB)=y,Q(ρAC)=z。若x≤y或x≤z,则式(81)显然成立。若x>max{y,z}>0,则由Q的多配性可知y>0,z>0。此时,当γ→0时, →1, →1,因此总存在γ>0使得
1≤ + 。
令f(ρABC)为满足式(82)的γ的最大值。注意到f是连续的且SABC为紧集,故可取
$\beta \overset{d}{=} \inf _{\boldsymbol{\rho}^{A B C} \in \mathscr{F} B C} f\left(\rho^{A B C}\right)<\infty,$
则β显然满足式(81),证毕。
显然,当γ∈[0,β]时,Qβ(ρA|BC)≤Qβ(ρAB)+Qβ(ρAC)蕴涵Qγ(ρA|BC)≤Qγ(ρAB)+Qγ(ρAC)。对于给定系统HABC,称式(83)中的β为Q的多配性指数。下面只考虑Q为某个纠缠度E的辅助纠缠Ea的情形。与凸扩张纠缠度EF类似,Ea通常都是连续的,因此β(Ea)通常都存在。亦即定义3完全能够体现多配性的分配关系,同时也可以看出,通过这个新定义验证多配性要简便得多。由以上定义可知,一般来说β(Ea)不仅与E有关也与系统的维数有关。表3列举出了目前已知的关于多配性指数的一些结论。显然,对于给定连续纠缠度E,[α(E),β(Ea)]能够比较完整地反馈出关于度量E的纠缠分配关系。
定理3指出,对于凸扩张纠缠度EF,验证其单配性只需讨论纯态情形,下面证明辅助纠缠的多配性也具有这个性质。
定理11 设E为某个两体纠缠单调,Ea为其辅助纠缠。若Ea对于SABC中的纯态满足多配性(按照定义3),则对于混合态也满足多配性。
证明 设ρABC∈SABC,ρABC=∑jpj|ψj><ψj|ABC满足
Ea(ρA|BC)= pjE(|ψj>A|BC)。
不妨设Ea(ρA|BC)>Ea(ρAB)>Ea(ρAC)>0,记 $\overset{d}{=}$TrC|ψj><ψj|ABC。注意到
Ea(|ψ>A|BC)=E(|ψ>A|BC)≥Ea(ρAB)
对任意|ψ>ABC∈HABC都成立(由于ρAB可以看作由|ψ>ABC通过LOCC得到,且纠缠单调在LOCC作用下是保持纠缠均值不增的)。因此,由假设可知
pjE(|ψj>A|BC)>Ea(ρAB)≥ pjEa( )。
故存在某个j0使得Ea(| >A|BC)>Ea( )。由假设Ea对于纯态满足多配性,故若Ea( )>0,则必有Ea( )>0。从而有
Ea(ρAC)≥ pjEa()>0。
若Ea( )=0,下证 = ,其中 为纯态。显然 =TrB 不是纯态,否则E(| >A|BC)=0,矛盾。用反证法,为此假设 =TrA 不是纯态。设 =p λj|xj>|yj><xj|<yj|+(1-p)δAB,0≤p≤1,δAB∈SAB,|x1>和|x2>线性无关,|y1>和|y2>线性无关。不难看出 也可以表示为 =p|ψ1><ψ1|+p|ψ2><ψ2|+(1-p)δAB,其中|ψ1>=cd|x1>|y1>+e|x2>|y2>,|ψ2>=d|x1>|y1>-ce|x2>|y2>(这里,|ψ1,2>不是单位向量),(1+c2)d2=λ1,(1+c2)e2=λ2。而此蕴涵Ea( )>0,矛盾。因此| >ABC≅|ψ>AC|ψ>B,从而有Ea( )=E(|ψ>AC)=E(| >A|BC)>0。证毕。
下面证明每个纠缠单调的辅助纠缠一定具有多配性,任何纠缠度都不满足多配性。
定理12 对于任何纠缠单调E,Ea都满足多配性。
证明 根据定理11,只需验证Ea对于纯态满足多配性。注意到,对于任何纯态|ψ>A|BC总有Ea(|ψ>A|BC)≥Ea(ρAB),Ea(|ψ>A|BC)≥Ea(ρAC),其中ρAB和ρAC为约化态。若Ea(|ψ>A|BC)>Ea(ρAB)>0,则由定理11的证明过程可知ρAC必为混合态且ρA和ρC的秩至少为2,从而Ea(ρAC)>0。由定义3,Ea对于纯态满足多配性,证毕。
对于2ⓧ2ⓧ2m系统,m≥1,文献[11]证明了Eβ(|ψ>A|BC)≤Eβ(ρAB)+Eβ(ρAC),其中E=NF或E=Ef。下面,举例说明这一结论不成立,任何纠缠度都不可能满足多配性。
例1 对于广义的GHZ态(或称具有多体Schmidt分解[126-127]的多体纯态)
|ψ = λj|j(1)>|j(2)>ⓧ…ⓧ|j(n)>,
其中{|j(i)>}是 的一个标准正交集, =1,λj>0,k≤min{dim },n≥3,对任何纠缠度E总有E(|ψ )>0,而E( )=0,2≤i≤n,从而不可能满足多配性。
例2 对于3量子比特态
|ϕ>ABC= (|000>+ |110>+|111>),
容易计算C(|ϕ>A|BC)≈0.979 8,C(ρAB)≈0.799 9,而ρAC是可分态,因此C不满足多配性。
设ρABC∈SABC满足Ea(ρA|BC)=Ea(ρAB)>0,Ea(ρAC)=0,则必有
ρABC=ρABⓧρC
且ρC为纯态。亦即,只要ρC为混合态,则Ea(ρA|BC)=Ea(ρAB)>0且Ea(ρAC)>0。因此,任何纠缠度的辅助纠缠都不满足单配性(对于某个度量,通常并不能从它满足单配性(或多配性)而推出它满足多配性(或单配性))。
6 结语
本文系统地回顾了基于两体纠缠单调(纠缠度)的单配性及其辅助纠缠多配性的研究进展。结果表明, 改进后的单配性和多配性定义更能揭示单配性和多配性的本质, 从而能够验证单配性或多配性。尤其是通过分析非纠缠条件验证单配性, 能够得到更一般的结果。我们发现纠缠单调的辅助纠缠都满足多配性, 约化函数是否是严格凹函数是决定纠缠单调(纠缠度)是否满足单配性关系的关键。我们猜测满足单配性关系的纠缠单调(纠缠度)其约化函数必为严格凹函数,在此基础上,进一步讨论了LOCC的严格单调性。不难看出,所有证明是严格凹的约化函数都是与约化态的所有特征值相关的,称这种纠缠单调为信息完备的纠缠单调(informationally complete entanglement monotone)。比如形成纠缠度Ef、concurrence、负性纠缠度N等都是信息完备的,而E2、Emin都是不完备的(量子比特情形除外)。还有Schmidt数,与Schmidt系数的取值无关, 它所反映的纠缠信息也不完整, 因此也不完备。综上,我们猜测:对于形成纠缠度EF,满足单配性关系当且仅当它是信息完备的,当且仅当其约化函数h是严格凹,当且仅当它是LOCC严格单调的。
单配性是纠缠及其他量子关联应该具备的的基本特性, 若某个纠缠单调(纠缠度)不满足单配性只是说明所用的函数不合适。因此,纠缠单调的定义应做如下改进:设E为定义在SAB上的非负函数,对于纯态满足E(|ψ>)=h(ρA)。称E为严格纠缠单调(strict entanglement monotone),若1)对所有可分态σAB∈SAB有E(σAB)=0;2)E在LOCC作用下是均值不增的;3)约化函数h是严格凹的。除E2、Emin和Schmidt数外,前面讨论过的所有满足单配性或关于纯态满足单配性的纠缠单调都是严格纠缠单调。但除了扁压纠缠外,其他非凸扩张的纠缠单调是否满足单配性关系仍不清楚。我们猜测所有信息完备的纠缠单调其约化函数都是严格凹的,都满足单配性。这一工作对于今后讨论基于两体量子关联的单配性及相关问题提供了新思路。