著名的Fibonacci数列{Fn} 和Lucas数列{Ln} 分别是由二阶递推关系F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)和L0=2,L1=1,Ln=Ln-1+Ln-2(n≥2)定义的整数。在实际应用中,常用联系Fibonacci数和Lucas数的恒等式Ln=Fn-1+Fn+1来定义Lucas数。Pell数列{Pn} 和Pell-Lucas数列{Qn} 分别是由二阶递推关系P0=0,P1=1,Pn=2Pn-1+Pn-2(n≥2)和Q0=2,Q1=2,Qn=2Qn-1+Qn-2(n≥2)定义的另外两个著名数列。
数列{Fn} 、{Ln} 、{Pn} 和{Qn} 的生成函数分别为 Fnxn= , Lnxn= , Pnxn= , Qnxn= 。它们的Binet公式分别为Fn= ,Ln=αn+βn,Pn= ,Qn=γn+δn,其中α=(1+ )/2,β=(1- )/2是特征方程x2-x-1=0的根;γ=1+ ,δ=1- 是特征方程x2-2x-1=0的根。显然,正根α和γ分别是著名的黄金比例和白银比例[1-2]。
确定的数列{Fk,n} 和{Lk,n} ,就是它们的一种推广。特别地,当k=1,2时,它们分别退化为经典的Fibonacci数列、Lucas数列、Pell数列和Pell-Lucas数列。k-Fibonacci数列和k-Lucas数列的生成函数和Binet公式分别为
fk(x)= ,Fk,n= ;
lk(k)= ,Lk,n=αn+βn。
式中:α=(k+ )/2、β=(k- )/2是特征方程x2-kx-1=0的根。
与上述不同,文献[5]通过取k-Fibonacci数列和k-Lucas数列的线性组合,将k-Fibonacci数列和k-Lucas数列推广为新的k-FL数列。具体来说,∀k,a,b∈R+,由递推关系
或
=a·Fk,n+b·Lk,n
确定的数列{ 称为k-FL数列,其中Fk,n和Lk,n分别是第n个k-Fibonacci数和k-Lucas数。k-FL数列的生成函数和Binet公式分别为
g(x)= ·xn= ,
= 。
式中:r=a+b ;s=a-b ;α>β是特征方程x2-kx-1=0的根。
表1 基元1、e1、e2、e3的乘积规则Tab.1 Product rule for primitives 1,e1,e2,e3 |
| · | 1 | e1 | e2 | e3 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e1 | e2 | e3 |
| e1 | e2 | -λ | e3 | -λe2 |
| e2 | e2 | -e3 | -μ | μe1 |
| e3 | e3 | λe2 | -μe1 | -λμ |
设q= alel,e0=1,al∈R(l=0,1,2,3)是2-参数广义四元数代数H(λ,μ)中的广义四元数,q的共轭和范数分别定义为 =a0·1-a1e1-a2e2-a3e3和N(q)=q = +λ +μ +λμ 。
文献[7]将Fibonacci四元数和Lucas四元数分别定义为Qn=Fn·1+Fn+1·e1+Fn+2·e2+Fn+3·e3和Kn=Ln·1+Ln+1·e1+Ln+2·e2+Ln+3·e3,其中Fn和Ln分别是第n个Fibonacci数和Lucas数。此外,还用关系Pn=Hn·1+Hn+1·e1+Hn+2·e2+Hn+3·e3对Fibonacci四元数进行了另类推广,其中H1=p,H2=p+q,Hn=Hn-1+Hn-2。
目前,大量研究集中在推广的Fibonacci四元数和Lucas四元数上。例如,文献[8]研究了Tetranacci四元数和Tetranacci-Lucas四元数的一些关系和性质;文献[9]给出了Fibonacci四元数和Lucas四元数的Binet公式Qn= ( α- β)和Kn= α+ β,以及一些重要的恒等式,其中 =1+αe1+α2e2+α3e3, =1+βe1+β2e2+β3e3,α>β是特征方程x2-x-1=0的根。
文献[10]研究了代数H(1,-1)上的分裂Fibonacci四元数和分裂Lucas四元数,得到了它们的Binet公式。此外,还重点探讨了这些分裂四元数的求和恒等式。Akyigit等[10]在2-参数广义四元数代数H(λ,μ)上推广了四元数Qn和Kn。文献[11-12]分别研究了Pell四元数和Pell-Lucas四元数Rn=Pn·1+Pn+1·e1+Pn+2·e2+Pn+3·e3和Sn=Qn·1+Qn+1·e1+Qn+2·e2+Qn+3·e3的定义及代数性质,其中Pn和Qn分别是第n个Pell数和第n个Pell-Lucas数。
文献[13]在代数H(1,1)上分别引入了k-Fibonacci四元数和k-Lucas四元数Dk,n=Fk,n·1+Fk,n+1·e1+Fk,n+2·e2+Fk,n+3·e3和Pk,n= ·e1+Lk,n+2·e2+Lk,n+3·e3,其中Fk,n和Lk,n分别是第n个k-Fibonacci数和k-Lucas数,并推导出了它们的生成函数、Binet公式、Cassini恒等式和其他一些恒等式。遗憾的是,作者仅将Catalan恒等式作为一种猜想,并未给出其证明。后来,这个猜想很快被Polatli和Kesim[14]证明。
文献[15]研究了代数H(1,-1)上的k-Fibonacci和k-Lucas双曲分裂四元数Mk,n=Fk,n·1+Fk,n+1·e1+Fk,n+2·e2+Fk,n+3·e3和Nk,n=Lk,n·1+Lk,n+1·e1+Lk,n+2·e2+Lk,n+3·e3其中,Fk,n和Lk,n分别是第n个双曲k-Fibonacci数和双曲k-Lucas数。同时,给出了这些分裂四元数的生成函数、Binet公式和一些著名恒等式,同时,还讨论了它们的部分求和公式与二项式公式。
文献[16]介绍了修正的Pell四元数Mn= qn+l·el和修正的k-Pell四元数Mk,n= qk,n+l·el,其中e0=1,qn是第n个修正的Pell数,qk,n是第n个修正的k-Pell数。同时,还给出了这些四元数的大量性质。
文献[17]利用推广数列四元数的通常方法,研究了Padovan和Perrin 广义四元数,获得了与 Padovan矩阵相关的新恒等式,并给出了这些特殊四元数的类Binet公式、生成函数、求和性质以及二项式和。
表2概括了Fibonacci四元数列的推广。
表2 Fibonacci数列在四元数和分裂四元数代数上的推广Tab.2 The extension of Fibonacci sequence on quaternion and split quaternion algebra |
| k | H(1,1) | H(1,-1) |
|---|---|---|
| k=1 | Fibonacci四元数 | 分裂Fibonacci四元数 |
| k=2 | Pell四元数 | 分裂Pell四元数 |
| ∀k∈R+ | k-Fibonacci四元数 | 分裂k-Fibonacci四元数 |
四元数数列的性质和作用与实数列或复数列有相似之处,但也具有一些独特性。由于四元数乘法的非交换性,导致四元数数列的乘法顺序将对其结果产生影响。因此,对各种四元数数列的研究将有助于加深对四元数代数特性的理解,为进一步探索它们在各个领域中的应用奠定基础。
本文将在2-参数广义四元数代数H(λ,μ)上引入k-FL广义四元数列,它是基于k-Fibonacci数列和k-Lucas数列线性组合构成的广义四元数列。与传统的Fibonacci数列和Lucas数列不同,k-FL广义四元数列的递归关系会涉及广义四元数的数量乘法和乘法等运算,从而使其变得更加复杂而有意义。
本文始终令N*={0,1,…,n,…}。下面引入2-参数k-FL广义四元数列的定义,并探讨其生成函数、Binet公式,以及一些重要的著名恒等式。
1 主要结果
首先,在2-参数广义四元数代数H(λ,μ)上定义k-Fibonacci广义四元数和k-Lucas广义四元数。
定义1 ∀k∈R+和n∈N*,形如
Gk,n=Fk,n·1+Fk,n+1·e1+Fk,n+2·e2+Fk,n+3·e3,
Hk,n=Lk,n·1+Lk,n+1·e1+Lk,n+2·e2+Lk,n+3·e3
的四元数分别称为k-Fibonacci广义四元数和k-Lucas广义四元数。式中:Fk,n和Lk,n分别是第n个k-Fibonacci数和第n个k-Lucas数;广义四元数基元1、e1、e2、e3的乘法规则如表1所示。
引理1 ∀k∈R+和n∈N*,有
Gk,n=kGk,n-1+Gk,n-2,
Hk,n=kHk,n-1+Hk,n-2。
证明 由式(7)和式(8),利用k-Fibonacci数列和k-Lucas数列的递推关系即可推出,在此从略。
引理2 ∀k∈R+和n∈N*,k-Fibonacci广义四元数和k-Lucas广义四元数的生成函数分别为
G(x)= Gk,nxn= ,
H(x)= Hk,nxn= 。
证明 类似于文献[13]的步骤很容易推证,在此从略。
引理3 ∀k∈R+,k-Fibonacci广义四元数和k-Lucas广义四元数的Binet公式分别为
Gk,n= ,
Hk,n= α+ βn。
式中:α=(k+ )/2、β=(k- )/2是特征方程x2-kx-1=0的根; 、 分别为
$\begin{array}{l} \hat{\alpha}=1+\alpha e_{1}+\alpha^{2} e_{2}+\alpha^{3} e_{3}, \\ \hat{\beta}=1+\beta e_{1}+\beta^{2} e_{2}+\beta^{3} e_{3}. \end{array} $
证明 只证明式(13),式(14)类似可证。由式(7),有
αGk,n+Gk,n-1=(αFk,n+Fk,n-1)·1+(αFk,n+1+Fk,n)e1+(αFk,n+2+Fk,n+1)e2+(αFk,n+3+Fk,n+2)e3。
利用恒等式αn=αFk,n+Fk,n-1和βn=βFk,n+Fk,n-1,可得
αGk,n+Gk,n-1= αn,
βGk,n+Gk,n-1= βn。
式(16)与式(17)相减,可得(α-β)Gk,n= αn- βn。于是,有Gk,n= 。
引理4 ∀k∈R+,有
=u1+Hk,0+u2 ,
=u1+Hk,0-u2 ,
=v1+Hk,0+ (v2+Gk,0),
=v1+Hk,0- (v2+Gk,0)。
式中:u1=λμ+λ-μ-1;v1=- k6- k4- k2-λμ-λ-μ-1;u2=-μe1-λke2+e3;v2=- k5- k3-( λμ+ +μ)k。
证明 仅证明式(18),其他等式类似可证。由 、 的定义,有
=(1+αe1+α2e2+α3e3)(1+βe1+β2e2+β3e3)=λμ+λ-μ+1+ke1+(k2+1)e2+(k3+3k)e3+ (-μe1-kλe2+e3)=u1+Hk,0+u2 。
利用引理4,可直接得出如下有用的性质:
+ =2(u1+Hk,0),
- =2u2 ,
+ =2(v1+Hk,0),
- =2 (v2+Gk,0)。
定义2 设k,a,b∈R+。在H(λ,μ)上,形如
= ·1+ ·e1+ ·e2+ ·e3
的四元数称为k-FL广义四元数。式中: 是第n个k-FL数;广义四元数基元1、e1、e2、e3的乘法规则如表1所示。
设Gk,n和Hk,n分别由式(7)和式(8)所定义,利用引理1,不难推出
=aGk,n+bHk,n。
定理1(生成函数) 对2-参数k-FL广义四元数列{ ,其生成函数为
G(x)= ·xn= 。
式中:u=a-bk;v=a+bk;w=bk2+ak+2b。
证明 利用式(27)、式(11)和式(12),可得
G(x)= ·xn= (aGk,n+bHk,n)·xn=a Gk,n·xn+b Hk,n·xn=
+ +
= +
=
=
。
式中:u=a-kb;v=a+kb;w=bk2+ak+2b。于是,式(28)得证。
定理2(Binet公式) ∀n∈N*,有
= 。
式中:σ=a+bα-bβ;τ=a-bα+bβ。
证明 由式(27)、式(13)和式(14)可知,∀n∈N*,有
=aGk,n+bHk,n= = = = 。
式中:σ=a+bα-bβ;τ=a-bα+bβ。证毕。
利用Binet公式,可以得到k-FL广义四元数的一些重要恒等式,它们揭示出了k-FL广义四元数列与k-Fibonacci数列和k-Lucas数列之间的各种关系。
定理3(Catalan恒等式) ∀n,m∈N*,有
· -()2= +(-1)n-m+1στu2·Fk,2m。
证明 由式(29)和αβ=-1,可得
· -( )2= (σ αn+m-τ βn+m)(σ αn-m-τ βn-m)- (σ αn-τ βn)2=
(σ2 α2n-στ αn+mβn-m-τσ αn-mβn+m-τ2 β2n)- (σ2 α2n-στ αnβn-στ αnβn+τ2 β2n)= (-στ αn+mβn-m-τσ αn-mβn+m+στ αnβn+στ αnβn)= (-στ (αβ)n-mα2m-
τσ (αβ)n-mβ2m+στ (αβ)n+στ (αβ)n)= (-στ (αβ)n-mα2m-τσ (αβ)n-mβ2m+στ (αβ)n+στ (αβ)n)= [(-1)n-m+1στ( α2m+ β2m)+(-1)nστ( + )]。
将式(18)、式(19)、式(22)代入上式,并利用式(2)与式(3)以及α-β= ,可得
· -( )2= ·(-1)n-m+1στ[(u1+Hk,0+u2 )α2m+
(u1+Hk,0-u2 )β2m]+ (-1)nστ(2(u1+Hk,0))= (-1)n-m+1στ[(u1+Hk,0)(α2m+β2m)+
u2 (α2m-β2m)]+ (-1)nστ(2(u1+Hk,0))= (-1)n-m+1στ[(u1+Hk,0)Lk,2m+u2 (α2m-β2m)]+
(-1)nστ(2(u1+Hk,0)) = (-1)n-m+1στ(u1+Hk,0)(Lk,2m+2(-1)m-1)+
(-1)n-m+1στu2 (α2m-β2m)= (-1)n-m+1στ(u1+Hk,0)(Lk,2m+
2(-1)m-1)+(-1)n-m+1στu2(α-β)(α2m-β2m)= (-1)n-m+1στ(u1+Hk,0)(Lk,2m+2(-1)m-1)+
(-1)n-m+1στu2(α2m-β2m)= (-1)n-m+1στ(u1+Hk,0)(Lk,2m+2(-1)m-1)+(-1)n-m+1στu2Fk,2m。
推论(Cassini恒等式) ∀n∈N*且n≥1,有
· -()2=(-1)nστ(u1+ku2+Hk,0)。
证明 因为Cassini恒等式是Catalan恒等式在m=1时的特例。因此,在定理3中取m=1,并将Fk,2=k,Lk,2=k2+2代入其中即可得证。
定理4(d'Ocagne恒等式) ∀n,m∈N*且n>m,有
· - · =(-1)mστ[(u1+Hk,0)Fk,n-m+u2Lk,n-m]。
证明 由式(29),有
· - · = - =
=(-1)mστ[(u1+Hk,0)Fk,n-m+u2Lk,n-m]。
定理5 设k∈R+,n,m∈N*且n>m≥1,有
(i) =k + ;
(ii) +(-1)m = Lk,m;
(iii) xn= ;
(iv) -e1 -e2 -e3 = +λ +μ +λμ 。
证明 (i)因为
Gk,n=Fk,n·1+Fk,n+1e1+Fk,n+2e2+Fk,n+3e3=(kFk,n-1+Fk,n-2)·1+(kFk,n+Fk,n-1)e1+(kFk,n+1Fk,n)e2+(kFk,n+2+Fk,n+1)e3=
k(Fk,n-1·1+Fk,ne1+Fk,n+1e2+Fk,n+2e3)+(Fk,n-2·1+Fk,n-1e1+Fk,ne2+Fk,n+1e3)=kGk,n-1+Gk,n-2。
同理,有Hk,n=kHk,n-1+Hk,n-2。所以,由式(27)可得
=aGk,n+bHk,n=a(kGk,n-1+Gk,n-2)+b(kHk,n-1+Hk,n-2)=k(aGk,n-1+bHk,n-1)+(aGk,n-2+bHk,n-2)=k + 。
(ii)由式(13),可得
K(a,b)k,n+m+(-1)m = =
= =
= Lk,m。
(iii)由引理1,并对n用数学归纳法可以证明
Gk,n+mxn= 和 Hk,n+mxn= 。
事实上,当n=1时,结论显然成立。假设结论对n>1成立,即 Gk,n+mxn= 。
于是有
Gk,n+1+mxn= (kGk,n+m+Gk,n+m-1)xn= + =
= 。
同理可证, Hk,n+mxn= 。因此,
xn=a Gk,n+mxn+b Hk,n+mxn= + =
= 。
(iv)由 的定义式(26)及2-参数广义四元数基元1、e1、e2、e3的乘法规则即可推证。
定理6 对∀n∈N*,有
ki = 。
证明 由式(13),有
kiGk,i= ki = kiαi- kiβi=
(1+kα)n- (1+kβ)n= =Gk,2n。
这里用到了1+kα=α2,1+kβ=β2。同理可得, kiHk,i=Hk,2n。因此,
ki = ki(aGk,i+bHk,i)=a kiGk,i+b kiHk,i=aGk,2n+bHk,2n= 。
2 结语
本文回顾了Fibonacci和Lucas等著名数列的基本定义、性质,以及在2-参数广义四元数代数上的推广应用。在此基础上,进一步引入了k-FL广义四元数的概念,详细阐述了其生成规则、递推关系和一些重要的恒等式。由于k-FL广义四元数融合了经典Fibonacci数和Lucas数的概念且将它们扩展到了2-参数广义四元数代数的领域,从而使现有文献的结果得到了统一推广,即如果取λ、μ、a、b的特殊值,那么可以得到双曲型、椭圆型、分裂和半分裂等k-Fibonacci或k-Lucas四元数列的相应结果。另一方面,研究k-FL广义四元数,也为观察和理解某些经典数列的性质提供了全新视角。
将来可以在如下三个方面开展研究。一是在性质与结构方面。尽管本文给出了k-FL广义四元数的定义和部分基本性质,但仍有许多未知领域有待探索。例如,求和公式、周期性质、李群结构和拓扑流形等,都需要进一步研究和验证。二是在应用领域方面。当前,四元数已经在物理学、工程学和计算机图形学等许多领域发挥着重要作用。因此,k-FL广义四元数可能会为这些领域提供新的数学模型和工具。特别是在密码、数据加密和信号处理等方面,展现出独特的优势和应用潜力。三是在与其他数学对象的联系方面。k-FL广义四元数与传统的Fibonacci数列和Lucas数列、其他类型的广义数列以及更复杂的数学对象之间可能存在某种联系或映射关系。探索这些联系将有助于深化对这些数学对象的理解,并可能揭示出一些新的数学规律。综上所述,k-FL广义四元数的研究具有广阔的前景和众多潜在的应用价值。