量子非局域性是一个量子力学的基本概念,它被广泛应用于量子信息处理任务中,如减少通信复杂度、量子密钥分配、私密随机数生成以及与设备无关的纠缠见证[1⇓⇓⇓⇓-6]。从概念上讲,非局域性是一种不能被任何局域隐变量理论所描述的关联,它与纠缠和量子特性等其他现象密切相关,但又有所区别[7]。学者们通过贝尔不等式的方法对非局域性进行了广泛研究[8⇓⇓⇓⇓-13]。但仅通过贝尔不等式的角度去研究非局域性显然是不够的,这是因为存在着无量子特性的非局域性[14]和无纠缠的非局域性[15⇓⇓-18]。Luo等[19]提出了测量诱导的非局域(measurement-induced nonlocality, MIN),并得到了任意维纯态和2×n维混合态的解析解。Mirafzali等[20]研究了任意m×n维两体态的MIN值,获得了MIN的上界计算公式,该上界比文献[19]中的上界更便于计算且更精细。
1 测量诱导的非双局域关联
考虑一个有限维的四体系统,对应复希尔伯特空间H=HA$\otimes$HB$\otimes$HC$\otimes$HD,其中HA(HB、HC、HD)是粒子A(B、C、D)的希尔伯特空间,且具有维数m(n、u、v)。令D(H)是H上有界、迹为1的半正定算子的集合。给定由A、B共享的量子态ρAB∈D(HA$\otimes$HB),和由C、D共享的量子态ρCD∈D(HC$\otimes$HD),定义测量诱导的非双局域关联[32]为
NC(ρAB$\otimes$ρCD)=
$\begin{array}{l}N_{C}\left(\rho_{A B} \otimes \rho_{C D}\right)= \\\quad \max _{\Pi^{B C}}\left\|\rho_{A B} \otimes \rho_{C D}-\Pi^{B C}\left(\rho_{A B} \otimes \rho_{C D}\right)\right\|^{2},\end{array}$
其中最大值取遍不扰动局域态ρBC的冯诺依曼测量ΠBC={ },即∑h ρBC =ρBC,ΠBC(ρAB$\otimes$ρCD)=∑h(IA$\otimes$ $\otimes$ID)(ρAB$\otimes$ρCD)(IA$\otimes$ $\otimes$ID)。这里,‖·‖是希尔伯特施密特范数,定义为‖X‖≡ 。令ρA和ρB是ρAB对于A方和B方的约化密度矩阵,ρC和ρD也同样定义。
记L(HA)为线性算子的希尔伯特空间,其上的内积定义为<X|Y>≡tr(X†Y)。在这个空间里,若<Xi|Xj>=δij,则算子族{Xi:i=0,1,…,m2-1}被称为一个正交厄米算子基。令{Xi:i=0,1,…,m2-1}、{Yj:j=0,1,…,n2-1}、{Zk:k=0,1,…,u2-1}和{Wl:l=0,1,…,v2-1}分别是L(HA)、L(HB)、L(HC)和L(HD)上的正交厄米算子基,其中X0=IA/ ,Y0=IB/ ,Z0=IC/ 和W0=ID/ ,则一般的两体态ρAB和ρCD可被表示为
$\begin{aligned}\rho_{A B}= & \frac{1}{\sqrt{m n}} \frac{I^{A}}{\sqrt{m}} \otimes \frac{I^{B}}{\sqrt{n}}+\sum_{i=1}^{m^{2}-1} x_{i} X_{i} \otimes \frac{I^{B}}{\sqrt{n}}+\frac{I^{A}}{\sqrt{m}} \otimes \\& \sum_{j=1}^{n^{2}-1} y_{j} Y_{j}+\sum_{i=1}^{m^{2}-1} \sum_{j=1}^{n^{2}-1} t_{i j}^{A B} X_{i} \otimes Y_{j}, \\\rho_{C D}= & \frac{1}{\sqrt{u v}} \frac{I^{C}}{\sqrt{u}} \otimes \frac{I^{D}}{\sqrt{v}}+\sum_{k=1}^{u^{2}-1} z_{k} Z_{k} \otimes \frac{I^{D}}{\sqrt{v}}+\frac{I^{C}}{\sqrt{u}} \otimes \\& \sum_{l=1}^{v^{2}-1} w_{l} W_{l}+\sum_{k=1}^{u^{2}-1} \sum_{l=1}^{v^{2}-1} t_{k l}^{C D} Z_{k} \otimes W_{l 。}\end{aligned}$
式中:ρAB的关联矩阵是TAB≡( );ρCD的关联矩阵是TCD≡( )。现在假设
= 和 = ,
这里x=(x1,x2,…, )T。类似地,对y、z和w进行假设,于是有
ρAB$\otimes$ρCD= Xi$\otimes$Yj$\otimes$
Zk$\otimes$Wl,
ρBC,AD= Yj$\otimes$Zk$\otimes$
Xi$\otimes$Wl,
式中矩阵 =( )jk,il= $\otimes$ ,且ρBC,AD的关联矩阵是 去掉第一行和第一列的子矩阵,记为TBC,AD。
对于(2)式中表示的ρAB和ρCD,文献[32]推导了测量诱导的非双局域关联的上界
Nc(ρAB$\otimes$ρCD)=tr(TBC,AD )-
(tr(GTBC,AD GT))≤ λs。
式中:G≡(gho)是一个nu×(n2u2-1)维矩阵,且元素为gho≡tr Yj$\otimes$Zk(o=ju2+k;j=0,1,…,n2-1;k=0,1,…,u2-1;jk≠0);TBC,AD=(tjk,il)是一个(n2u2-1)×(m2v2-1)维矩阵;{λs:s=1,2,…,n2u2-1}是TBC,AD 按照降序排列的特征值。
对于Swapping网络中的局域量子态ρBC,由于它是一个直积态ρBC=ρB$\otimes$ρC,不失一般性,若ρB是非简并且有谱投影(这里指谱分解下的投影算子){|eB><eB|},而ρC是简并的,则ΠBC={ $\otimes$ }={|eB><eB|$\otimes$ },且
$\begin{array}{l}N_{C}\left(\rho_{A B} \otimes \rho_{C D}\right)=\left(\operatorname{tr} \mid\left(\boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}}\right)-\right. \\\left.\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\frac{1}{u v}+\|\boldsymbol{z}\|^{2}+\|\boldsymbol{w}\|^{2}+\right. \\\left.\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)\right)+\left(\frac{1}{m n}+\|\boldsymbol{x}\|^{2}+\|\boldsymbol{y}\|^{2}+\right. \\\left.\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\operatorname{tr} \boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)- \\\left.\min _{C} \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{C}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\right)\right) \leqslant\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}}\right)-\right. \\\left.\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\frac{1}{u v}+\|\boldsymbol{z}\|^{2}+\|\boldsymbol{w}\|^{2}+\right. \\\left.\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)\right)+\left(\frac{1}{m n}+\|\boldsymbol{x}\|^{2}+\|\boldsymbol{y}\|^{2}+\right. \\\left.\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\sum_{s^{\prime}=1}^{u^{2}-u} \lambda_{s}^{\prime}\right) 。\end{array}$
式中:B≡(bej)是一个n×(n2-1)维矩阵,元素为bej≡tr(|eB><eB|Yj)=<eB|Yj|eB>(j=1,2…,n2-1);C≡(cfk)是一个u×(u2-1)维矩阵,其元素为cjk≡tr( Zk)(k=1,2,…,u2-1);{λ's':s'=1,2,…,u2-1}是矩阵TCD 按降序排列的特征值。
最后,若ρB和ρC都是非简并且有谱投影{|eB><eB|}和{|fC><fC|},则
$\begin{aligned}N_{c}\left(\rho_{A B} \otimes \rho_{C D}\right)=\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}}\right)-\right. \\\left.\quad \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\frac{1}{u v}+\|\boldsymbol{z}\|^{2}+\|\boldsymbol{w}\|^{2}+\right. \\\left.\quad \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)\right)+\left(\frac{1}{m n}+\|\boldsymbol{x}\|^{2}+\|\boldsymbol{y}\|^{2}+\right. \\\left.\quad \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)-\right. \\\left.\quad \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\right)\right),\end{aligned}$
式中C≡(cfk)是一个u×(u2-1)维矩阵,且cfk≡tr(|fC><fC|Zk)=<fC|Zk|fC>(k=1,2,…,u2-1)。
后面,针对(3)式中混合态情况下的上界进行进一步细化,并得到了一个更便于计算的上界公式。
2 一类混合态测量诱导的
非双局域关联上界的优化
由于(3)式中只需要对tr(TCD )- tr(CTCD CT)进行上界的计算,下面研究边缘态ρC有d个维度为ur的简并子空间情况下量子态非双局域关联的计算问题。
我们重新展开(2)式中的量子态ρCD:
ρCD= cklZ'k$\otimes$Wl。
式中:集合{Wl}与(2)式中所用的集合一样;集合{Z'k}是由ρC的特征向量所构造。给出ρC的谱分解ρC= er |xrs><xrs|+ e'r|xr><xr|,其中{er:r=1,2,…,d}({e'r:r=1,2,…,d'})是ρC的简并(非简并)特征值。在这个关系中,假定ρC有d+d'(1≤d+d'≤u)个不同的特征值,且每个特征值er被重复了ur次(2≤ur≤u,d'+ ur=u)。同样,ρC的简并特征向量被表示为|xrs>,其中第一个指标确定了相应的特征值,第二个指标与指标“r”指定的特征值的简并度有关。ρC的非简并特征向量被表示为|xr>。
首先,集合{|xrs>}是不唯一的,同一特征向量|xrs>的任意线性组合仍然是ρC的一个特征向量。为了对集合{Z'k}进行构造,本文选择了其中一个集合,并表示为{|x'rs>}。用{|x'rs><x'rs|:s,s'=1,2,…,ur}的线性组合构造算子{Z'k:k=Br-1+2,Br-1+1,…,Br},其中Br= + ,…+ ,B0=0,且设
Z = |x'rs><x'rs|,
这样就形成了一组满足条件tr(Z'kZ'k')=δkk'的厄米算子集合。进而令{Z =|xr><xr|},并用|x'rs><xr'|和|x'rs><x'r's'|(r≠r')的线性组合构造集合{Z'k:k=D,…,u2}(Bd+d'+1=D),且满足条件Z'k= ,tr(Z'kZ'k')=δkk', tr(|x'rs><x'rs|Z'k)=0和tr(|xr><xr|Z'k)=0。
用ρC在新基下的展开来计算tr(TCD )- tr(CTCD CT)= ‖ρCD-ΠC(ρCD)‖2的上界。如前所述,等式(3)中所用的ΠC={ }一定是ρC的一个谱投影,即
ΠC={ }={ =|xrs><xrs|}+
{ =|xr><xr|}。
在施加保持ρC不变的冯诺依曼测量ΠC之后,态ρCD变为
ΠC(ρCD)= ( $\otimes$ID)ρCD( $\otimes$ID)+ ( $\otimes$ID)ρCD( $\otimes$ID)。
运用等式(4),有
ΠC(ρCD)= ckl Z'k $\otimes$Wt+
ckl Z'k $\otimes$Wl。
由上述对于{Z'k}的构造可得,{ Z'k =0:k≠Fr,…,Br}和{ Z'k =0:k≠Bd+1,…,Bd+d'},其中Fr=Br-1+1。于是有
ΠC(ρCD)= ckl Z'k $\otimes$Wl+ cklZ'k$\otimes$Wl,
经计算,
ρCD-ΠC(ρCD)= ckl(Z'k-
Z'k )Wl+
cklZ'k$\otimes$Wl。
另一方面由等式(4)和在冯诺依曼测量下ρC的不变性可知
ρC= Z'k ,
ρC= ρC + ρC ,
故
Z'k= Z'k +
Z'k,
移项可得
(Z'k- Z'k )+ Z'k=0。
所以对于前面计算的ρCD-ΠC(ρCD),l=0时的项为0。若定义Xrsk≡tr Z'k,则
$\begin{array}{c}\left\|\rho_{C D}-\Pi^{C}\left(\rho_{C D}\right)\right\|^{2}=\sum_{l=1}^{v^{2}-1}\left(\sum_{k=D}^{u^{2}} c_{k l}^{2}+\right. \\\left.\sum_{r=1}^{d} \sum_{k=F_{r}}^{B_{r}}\left(c_{k l}^{2}-\sum_{k^{\prime}=F_{r}}^{B_{r}} \sum_{s=1}^{u_{r}} X_{r s k} X_{r s k^{\prime}} c_{k l} c_{k^{\prime} l}\right)\right)\end{array}$
由{Z'k}的构造可知 =1/ ,而对于不扰动局域态的冯诺依曼测量ΠC={ }={ =|xrs><xrs|}+{ =|xr><xr|}来说,它必须满足2个条件:① =δff' ;② =IC。对于条件①,
=δff' ⇒ cfkcf'k'ZkZk'=δff' cfkZk⇒
XrskXrs'k'ZkZk'=δss' XrskZk;
对于条件②,由于 =1/ ,故
=IC⇒ cfk=0(k=1,2,…,u2-1)⇒
Xrsk=0(k=Br-1+2,…,Br)。
所以,等式(5)中k=Fr或k'=Fr时的项为0,且可最终写为
$\begin{array}{r}\left\|\rho_{C D}-\Pi^{C}\left(\rho_{C D}\right)\right\|=\sum_{k=D}^{u_{2}} \sum_{l=1}^{v^{2}-1} c_{k l}^{2}+ \\\sum_{r=1}^{d}\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{C}_{r} \boldsymbol{C}_{r}^{\mathrm{T}}\right)-\operatorname{tr} \mathbf{X}_{r} \boldsymbol{C}_{r} \boldsymbol{C}_{r}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}_{r}^{\mathrm{T}}\right),\end{array}$
式中:Cr是一个( -1)×(v2-1)维矩阵,其元素为{ckl:k=Br-1+2,…,Br};Xr是一个ur×( -1)维矩阵,其元素为{Xrsk:s=1,2,…,ur:k=Br-1+2,…,Br}。经计算可得,
$\begin{array}{c}\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)-\min _{C} \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{C}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\right)= \\\max _{I^{C}}\left\|\rho_{C D}-\Pi^{C}\left(\rho_{C D}\right)\right\|^{2}= \\\sum_{k=D}^{u^{2}} \sum_{l=1}^{v^{2}-1} c_{k l}^{2}+\sum_{r=1}^{d} \max \left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{C}_{r} \boldsymbol{C}_{r}^{\mathrm{T}}\right)-\right. \\\left.\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{X}_{r} \boldsymbol{C}_{r} \boldsymbol{C}_{r}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}_{r}^{\mathrm{T}}\right)\right)= \\\sum_{k=D}^{u^{2}} \sum_{l=1}^{v^{2}-1} c_{k l}^{2}+\sum_{r=1}^{d}\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{C}_{r} \boldsymbol{C}_{r}^{\mathrm{T}}\right)-\right. \\\left.\min _{k_{r}} \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{X}_{r} \boldsymbol{C}_{r} \boldsymbol{C}_{r}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}_{r}^{\mathrm{T}}\right)\right) 。\end{array}$
根据文献[32],可从等式(7)中得出一个上界,即
$\begin{array}{c}\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)-\min _{C} \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\right) \leqslant \\\sum_{r=1}^{d} \sum_{k=1}^{u_{r}^{2}-u_{r}} \lambda_{r k}+\sum_{k=D}^{u^{2}} \sum_{l=1}^{v^{2}-1} c_{k l}^{2},\end{array}$
式中{λrk:k=1,2,…, -1}是矩阵Cr 按降序排列的特征值。
于是,对于(3)式可以得到一个上界计算公式
$\begin{array}{l}N_{C}\left(\rho_{A B} \otimes \rho_{C D}\right)= \\\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}}\right)-\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\frac{1}{u v}+\right. \\\left.\|\boldsymbol{z}\|^{2}+\|\boldsymbol{w}\|^{2}+\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)\right)+ \\\left(\frac{1}{m n}+\|\boldsymbol{x}\|^{2}+\|\boldsymbol{y}\|^{2}+\right. \\\left.\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\sum_{k=D}^{u^{2}} \sum_{l=1}^{v^{2}-1} c_{k l}^{2}+\right. \\\left.\sum_{r=1}^{d}\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{C}_{r} \boldsymbol{C}_{r}^{\mathrm{T}}\right)-\min _{K_{r}} \operatorname{tr}\left(\boldsymbol{X}_{r} \boldsymbol{C}_{r} \boldsymbol{C}_{r}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}_{r}^{\mathrm{T}}\right)\right)\right) \leqslant \\\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}}\right)-\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right)\left(\frac{1}{u v}+\right. \\\left.\|\boldsymbol{z}\|^{2}+\|\boldsymbol{w}\|^{2}+\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{T}_{C D} \boldsymbol{T}_{C D}^{\mathrm{T}}\right)\right)+\left(\frac{1}{m n}+\right. \\\left.\|\boldsymbol{x}\|^{2}+\|\boldsymbol{y}\|^{2}+\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{B} \boldsymbol{T}_{A B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{A B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)\right) \cdot \\\left(\sum_{r=1}^{d} \sum_{k=1}^{u_{r}^{2}-u_{r}} \lambda_{r k}+\sum_{k=D}^{u^{2}} \sum_{l=1}^{v^{2}-1} c_{k l}^{2}\right) 。 \\\end{array}$
由于这个上界可在每个简并特征子空间下独立计算得出,所以减少了以前上界(在整个空间下计算)的计算量,优化了最终的结果。
3 结语
测量诱导的非双局域关联通过测量的方式,对量子Swapping实验中的非局域性进行了有效捕获。本文针对一类量子态,即边缘态ρBC,这个直积态ρBC=ρB$\otimes$ρC中ρB是非简并且有谱投影{|eB><eB|}},和ρC是简并的情况进行了重新计算。通过重新构造局域态ρC的厄米算子基,获得了一种新的计算方法,并给出了一个更优化且更便于计算的上界公式。进一步需要研究的课题是,如何获得最一般量子态的上界计算公式。